Derived Categories

Gillespie の [Gil] の Introduction によると, Cartan-Eilenberg 流の derived functor の構成がうまくいかない場合に, ホモロジー代数を行なうために Grothendieck が考え出したのが derived category らしい。

Abelian category が与えられた時, その chain complex の成す圏から triangulated category を作ることができる。その triangulated category を元の Abelian category の derived category という。どういう種類の chain complex を考えるか (bounded か否かなど) によりいくつかの種類の derived category ができる。

この Abelian category の derived category が基本であるが, 最近では Abelian category 以外からでも似たような操作でできる triangulated category のことを derived category と呼ぶようである。

• Abelian category の derived category
• dg category の derived category
• exact category の derived category
• quasi-Abelian category の derived category
• \(A_{\infty }\)-category の derived category
• ring spectrum の module の成す圏の derived category
• Hopfological algebra での derived category
• \(Q\)-shaped derived category [HJ22; HJb; HJa]

Abelian category の derived category については, Gel\('\)fand と Manin の教科書 [GM99] がある。Derived category を導入するための motivation が Chapter 4 の §1.2 に書いてある。また簡単な入門としては, [Tho01] がある。Krause の2004年の Chicago での summer school の lecture note [Kra07a] は簡潔によくまとまっていて, お勧めである。より新しい話題, 例えば, Brown の表現定理 や dg category の derived category などについても書いてある。Exercise が [Kra07b] として出ている。

Abelian category の derived category は, その Abelian category の chain complex の category から作るが, 使う chain complex の種類によって, bounded, bounded below, bounded above, unbounded などの種類がある。 特に, unbounded な場合が面倒であり, Spaltenstein の [Spa88] で, homotopically projective あるい は injective object を用いた resolution を用いて調べられるようになった。 この辺のことについては, Positselski と Šťovíček の [PŠ22] の Introduction を見るとよい。

一見異なる対象に対し, それらからできる derived category が同値になることがある。とくに様々な duality を derived category の同値としてみる, というのは重要な視点である。この手のことについては Hille と Van den Bergh の [HV07] をみるとよい。そこには以下のような例が挙げてある:

• sphere bundle 上の層とその dual bundle 上の層の derived category の Fourier-Sato transform [SKK73]
• Abelian variety とその dual の上の coherent sheaf の derived category の間の Fourier-Mukai transform による同値 [Muk81]
• Beilinson による \(P^n\) 上の層とある有限次元代数の derived category の同値 [Beı̆84]
• tilting による有限次元代数の derived equivalence [Hap88]
• Kontsevich の homological mirror symmetry
• Riemann-Hilbert correspondence [Kas84; Meb84b; Meb84a]

逆に, derived category の間の同値を与える functor が, もとの Abelian category, あるいはそのもとになった幾何学的対象に関する情報から作られているか, という問題も考えられる。例えば smooth projective variety の coherent sheaf の derived category の場合は, Orlov [Orl97] により調べられている。多くの場合, Fourier-Mukai transform により与えられるようである。

このように, 導来同値の問題は, 代数幾何学や表現論で, よく調べられている。 これらの derived category を, その元になっている幾何学的あるいは代数的対象の, triangulated category に値を持つ不変量として見ているわけである。 そして, 更に, トポロジーで位相空間を調べるときのように, derived category の不変量を考えることも行なわれている。

例えば, そのような不変量として Picard group を定義することもできる。 Yekutieli [Yek99]や Rouquier と Zimmermann [RZ03] により考えられている。 Miyachi と Yekutieli [MY01] は, 代数的閉体上の hereditary algebra の場合について調べている。

• derived category の Picard group

他に, Bridgeland の stability condition の空間も, そのような不変量の一つである。

有理ホモトピー論の視点からは, 空間とは, differential graded commutative algebra のことである。 よって, その derived category を考えることは自然である。そのように考えると, derived category の不変量から位相空間の不変量が得られる。それを調べたのが, Jørgensenの[Jor; Jør06] である。また Kuribayashi は, Avramov らが [Avr+10] で導入した triangulated category の object の level という概念を用いて, [Kur13; Kur12] である空間 \(X\) 上の空間に対する不変量を導入した。

• Auslander-Reiten triangle
• additive category のquiver
• fiberwise space の level

また Abelian category や triangulated category の不変量として Hall algebra というものがある。

• Hall algebra

他には derived category の自己同型の成す群なども調べられている。 具体例としては, Ishii と Uehara の [IU05] や Bridgeland の [Bri09] を見るとよい。

Coherent sheaf の derived category に exceptional collection (sequence) という object の族があると, それからquiverが定義できる。 これは Bondal の [Bon90] による構成であるが, 重要なことは, その quiver から元の derived category が再構築できるということである。つまり, そのquiver の表現の derived category が, 元のcoherent sheaf の derived category と同値になる。その quiver の表現の moduli空間と元の代数多様体の関係を考えたのが, Bergman と Proudfoot の [BP06; BP08] である。

代数多様体を, その上の coherent sheaf の derived category から再構成するという問題は, Bondal と Orlov の [BO01] でも考えられている。

変種として, Buchweitz [Buc86] が導入した singularity category がある。通常の derived category の compact (perfect) object の成す triangulated subcategory による Verdier quotient として定義される。 Buchweitz は stablized derived category と呼んでいるが, 現在では singularity category というのが普通だろう。 文献としては, Buchweitz の本 [Buc21] がある。

• singularity category

その Orlov による global 版 [Orl04] や cosingularity category [GS20], そして Krause [Kra05] の stable derived category などの関連した構成がある。

• cosingularity category
• stable derived category

Derived category に関連した概念としては, dg category (differential graded category) も重要である。 Abelian category の derived category を定義するときに, quasi-isomorphism を可逆にして, triangulated category にする前の段階は, dg category である。 Derived category にすることで失なわれる情報を調べるために, dg category の段階で考えることを提案したのは, Bondal と Kapranov [BK90] である。

• dg category
• enhanced triangulated category

そのような triangulated category を構成する一つ前の段階のものを, enhanced triangulated category と呼ぶ。 Bondal と Kapranov は dg category を用いたが, ホモトピー論の立場からは, やはり model category を考えたくなる。それについては, Gillespie の [Gil] などがある。Gillespie は [Gil16] では, Murfet の thesis で導入された scheme 上の quasicoherent sheaf の成す “mock homotopy category of projectives” の元になる model structure を構成している。

• mock homotopy category of projectives

Murfet の thesis は quasicoherent sheaf の category が一般には enough projectives を持たないことから, projective object の成す chain complex の homotopy category の代わりになるものとして導入された。 Murfet の thesis は彼の website から download できる。

別の approach としては, Lurie の derived \(\infty \)-category がある。 Abelian category から stable \(\infty \)-category を作ることができるのである。

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