Minimal Triangulations of Projective Spaces

多様体の単体分割について, 次元 \(d\) の多様体の \(N\) 頂点単体分割が存在するとき, \(N<3\lceil \frac {d}{2}\rceil +3\) なら球面しかないことを Brehm と Kühnel [BK87] が示している。 彼等は, \(N=3\lceil \frac {d}{2}\rceil +3\) なら, 球面か \(d=2,4,8,16\) であることも示している。

この例外的な数字は, normed divsion algebra \(\R \), \(\bbC \), \(\Ha \), \(\mathbb {O}\) 上の projective plane の次元である。そして \(\RP ^2\) と \(\CP ^2\) の場合には, 実際に6頂点, 9頂点の単体分割がある。

• \(\RP ^2\) の\(6\)頂点の単体分割と \(\CP ^2\) の\(9\)頂点の単体分割 (Banchoff と Kühnel の [KB83])

\(\CP ^{2}\) の\(9\)頂点単体分割については, Schwartz [Sch23] による新しい直接的な構成もある。

四元数の場合, \(\mathbb {H}\mathrm {P}^2\) とPL同相になりそうな \(15\) 頂点の単体的複体を Brehm と Kühnel [BK92] が構成している。実際に PL同相になれば, それが\(\mathbb {H}\mathrm {P}^2\) の最小の単体分割であるが, Gorodkov [Gor19] がその証明に成功したと言っている。 そこで使われているのは, Pontrjagin 数の計算であり, Gaiffulin の algorithm [Gaı̆04] である。

八元数上の射影空間 \(\mathbb {O}\mathrm {P}^{2}\) の場合は, Chapoton と Manivel の [CM13] には候補すらない, と書かれているが, Gaifullin [Gai24a] が, 八元数上の射影空間と似た \(16\)次元の多様体について \(27\)頂点の単体分割を構成した, と言っている。こので「似た」というのは, その多様体が Eells と Kuiper により [EK62] で調べられた, 3つの critical point を持つ Morse 関数が存在するような多様体であるからである。

• manifolds which are like projective planes

Gaifullin は, 得られた単体分割は \(\mathbb {O}\mathrm {P}^{2}\) と PL 同相であると予想しているが, どうなのだろうか? Gaifullin は, その後 [Gai24b] でその単体分割の対称群について調べている。

高次元の射影空間についても, 当然様々な人により調べられている。 有名なのは次の結果である。

• \(\RP ^n\) の単体分割は \(\frac {(n+1)(n+2)}{2}\) 個以上の頂点が必要 であり, \(n> 2\) なら \(\frac {(n+1)(n+2)}{2}+1\)個以上必要 (Arnoux と Marin [AM91])
• \(\CP ^n\) の単体分割は \((n+1)^2\)個以上の頂点が必要であり, \(n>2\) なら \((n+1)^2+1\) 個以上必要 (同じく Arnoux と Marin [AM91])

一方, 上からの評価としては, 次のものがある。

• \(\RP ^3\) の\(11\)頂点の単体分割 (Walkup の [Wal70])
• \(\RP ^4\) の\(16\)頂点の単体分割 (Balagopalan の [Bal17])
• \(\RP ^5\) の\(24\)頂点の単体分割 ( Lutz のページ)
• Adiprasito, Avvakumov, Karasev [AAK22] による \(\RP ^{n}\) の \(e^{(\frac {1}{2}+o(1))\sqrt {n}\log n}\) 頂点の単体分割

よって, \(\RP ^3\) と \(\RP ^4\) の場合は, vertex minimal triangulation が見つかっていることになる。\(\RP ^5\) の場合, \(22\)頂点のものがあるかどうかは, まだ分っていないようである。

\(\RP ^4\) の16頂点, すなわち最小頂点数の単体分割は, Lutz のページで計算機による結果が公表されていたが, 具体的な構成を Balagopalan [Bal17] が発見した。

\(\CP ^n\) の場合は一層難しい。\(\CP ^2\) の Banchoff と Kühnelの vertex minimal triangulation 以外に Sarkar の [Sar] に書かれているのは以下の結果である。

• \(\CP ^3\) の18頂点の単体分割 (Baguchi と Datta の [BD12])

References

[AAK22]

Karim Adiprasito, Sergey Avvakumov, and Roman Karasev. “A subexponential size triangulation of \({\R }P^n\)”. In: Combinatorica 42.1 (2022), pp. 1–8. arXiv: 2009.02703. url: https://doi.org/10.1007/s00493-021-4602-x.

[AM91]

Pierre Arnoux and Alexis Marin. “The Kühnel triangulation of the complex projective plane from the view point of complex crystallography. II”. In: Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A 45.2 (1991), pp. 167–244. url: http://dx.doi.org/10.2206/kyushumfs.45.167.

[Bal17]

Sonia Balagopalan. “On a vertex-minimal triangulation of \(\R \mathrm {P}^4\)”. In: Electron. J. Combin. 24.1 (2017), Paper No. 1.52, 23. arXiv: 1409.6149.

[BD12]

Bhaskar Bagchi and Basudeb Datta. “A triangulation of \({\bbC }P^3\) as symmetric cube of \(S^2\)”. In: Discrete Comput. Geom. 48.2 (2012), pp. 310–329. arXiv: 1012.3235. url: https://doi.org/10.1007/s00454-012-9436-2.

[BK87]

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[BK92]

Ulrich Brehm and Wolfgang Kühnel. “\(15\)-vertex triangulations of an \(8\)-manifold”. In: Math. Ann. 294.1 (1992), pp. 167–193. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01934320.

[CM13]

F. Chapoton and L. Manivel. “Triangulations and Severi varieties”. In: Exp. Math. 22.1 (2013), pp. 60–73. arXiv: 1109.6490. url: https://doi.org/10.1080/10586458.2013.743854.

[EK62]

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[Gai24a]

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[Gai24b]

A. A. Gaifullin. “On possible symmetry groups of 27-vertex triangulations of manifolds like the octonionic projective plane”. In: Mat. Sb. 215.7 (2024), pp. 3–51. arXiv: 2310.16679. url: https://doi.org/10.4213/sm10017.

[Gaı̆04]

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[Gor19]

Denis Gorodkov. “A 15-vertex triangulation of the quaternionic projective plane”. In: Discrete Comput. Geom. 62.2 (2019), pp. 348–373. arXiv: 1603.05541. url: https://doi.org/10.1007/s00454-018-00055-w.

[KB83]

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[Sar]

Soumen Sarkar. Some \(\Z _3^n\)-equivariant triangulations of \(\CP ^n\). arXiv: 1405.2568.

[Sch23]

Richard Evan Schwartz. “Trisecting the nine-vertex complex projective plane”. In: Math. Intelligencer 45.4 (2023), pp. 359–364. arXiv: 2205.00595. url: https://doi.org/10.1007/s00283-022-10214-w.

[Wal70]

David W. Walkup. “The lower bound conjecture for \(3\)- and \(4\)-manifolds”. In: Acta Math. 125 (1970), pp. 75–107. url: https://doi.org/10.1007/BF02392331.