Bivariant Algebraic K-Theory

作用素環の \(K\)-theory では, Kasparov の bivariant \(K\)-theory があるが, その algebraic \(K\)-theory 版も考えられている。

まずは, Cortiñas と Thom [CT07] が考えているものがある。 Univariant にした homology theory は Weibel の homotopy \(K\)-theory [Wei89] と一致する。

• Weibel の homotopy \(K\)-theory
• Cortiñas-Thom の algebraic \(KK\)-theory

Kasparov の \(KK\)-theory と Cortiñas-Thom の algebraic \(KK\)-theory との対応については, Ellis の [Ell14] に表がある。Ellis は countable group に対する equivariant 版を定義している。

• equivariant algebraic \(KK\)-theory

Kasparov の bivariant \(K\)-theory の場合は, \(C^*\)-algebra を object とし, \(KK\)-theory を morphism として, triangulated category \(KK\), すなわち Kasparov category が得られるが, その algebraic \(K\)-theory 版 \(kk\) もある。

\(KK\)-theory の場合は, Land と Nikolaus [LN18] により, homotopy category が Kasparov category になる symmetric monoidal stable \((\infty ,1)\)-category \(\mathrm {KK}_{\infty }\) が構成されているが, algebraic \(KK\)-theory の場合も Ellis と Rodríguez Cirone [ER25] による類似の構成 \(kk_{\infty }\) がある。

• \(kk_{\infty }\)

Garkusha の[Gar14] もある。Kontsevich [Kon09] や Mahanta [Mah15] の noncommutative stable homotopy category や Tabuada の motivator [Tab08] の視点で考えた方がよいのかもしれない。

• Garkusha の algebraic bivariant \(K\)-theory

Mitchener [Mit] は, Bartels と Lück が [BL06] で homotopy \(K\)-theory に対して定義した assembly map を Cortinas-Thom の algebraic \(KK\)-theory で記述している。

References

[BL06]

Arthur Bartels and Wolfgang Lück. “Isomorphism conjecture for homotopy \(K\)-theory and groups acting on trees”. In: J. Pure Appl. Algebra 205.3 (2006), pp. 660–696. arXiv: math/0407489. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.07.020.

[CT07]

Guillermo Cortiñas and Andreas Thom. “Bivariant algebraic \(K\)-theory”. In: J. Reine Angew. Math. 610 (2007), pp. 71–123. arXiv: math/0603531. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2007.068.

[Ell14]

Eugenia Ellis. “Equivariant algebraic \(kk\)-theory and adjointness theorems”. In: J. Algebra 398 (2014), pp. 200–226. arXiv: 1301.1491. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.09.023.

[ER25]

Eugenia Ellis and Emanuel Rodríguez Cirone. “Homotopy structures realizing algebraic \(kk\)-theory”. In: Orbita Math. 2.2 (2025), pp. 149–189. arXiv: 2412.19936. url: https://doi.org/10.2140/om.2025.2.149.

[Gar14]

Grigory Garkusha. “Algebraic Kasparov \(K\)-theory. I”. In: Doc. Math. 19 (2014), pp. 1207–1269. arXiv: 1004.0918.

[Kon09]

Maxim Kontsevich. “Notes on motives in finite characteristic”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. II. Vol. 270. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 213–247. arXiv: math/0702206. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4747-6_7.

[LN18]

Markus Land and Thomas Nikolaus. “On the relation between \(K\)- and \(L\)-theory of \(C^*\)-algebras”. In: Math. Ann. 371.1-2 (2018), pp. 517–563. arXiv: 1608.02903. url: https://doi.org/10.1007/s00208-017-1617-0.

[Mah15]

Snigdhayan Mahanta. “Noncommutative stable homotopy and stable infinity categories”. In: J. Topol. Anal. 7.1 (2015), pp. 135–165. arXiv: 1211.6576. url: http://dx.doi.org/10.1142/S1793525315500077.

[Mit]

Paul D. Mitchener. The \(KH\)-Isomorphism Conjecture and Algebraic \(KK\)-theory. arXiv: 0711.2181.

[Tab08]

Gonçalo Tabuada. “Higher \(K\)-theory via universal invariants”. In: Duke Math. J. 145.1 (2008), pp. 121–206. arXiv: 0706.2420. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2008-049.

[Wei89]

Charles A. Weibel. “Homotopy algebraic \(K\)-theory”. In: Algebraic \(K\)-theory and algebraic number theory (Honolulu, HI, 1987). Vol. 83. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989, pp. 461–488. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/083/991991.