C∗-algebra を始めとした作用素環のK理論

コンパクト Hausdorff 空間の圏は, \(\bbC \) 上の可換な \(C^*\)-algebra の圏と (contravariantに) 同値である, というのが有名な Gel’fand-Naimark duality である。 よって, コンパクトHausdorff空間でできることは全て (可換な) \(C^*\)-algebra の圏でできるはずである。 中でも, \(K\)理論 の類似は, うまく対応するもののうちの1つである。

\(C^*\)-algebra の\(K\)理論については, いろいろ本も出ている。例えば, Higson と Roe の [HR00] がある。 より基本的なことについては, Arveson の本 [Arv76] や Fillmore の user’s guide [Fil96] を見るとよい。 Wegge-Olsen の本 [Weg93] や Blackadar の本 [Bla98] もある。

“\(C^*\)-algebra with several objects” である \(C^*\)-category の\(K\)理論にも拡張されている。 位相空間上の \(C^*\)-algebra という概念 [MN09] もあり, それに対する\(K\)理論も考えられている。

• 位相空間\(X\)上の\(C^*\)-algebraの\(KK\) 理論 [MN09]
• \(C^*\)-categoryの \(KK\) 理論 [Mit02; Mit04; Mit]

Künneth theorem の類似を考えようとすると, まず \(C^*\)-algebra の category での monoidal structure をどれにするかを考えなければならないので面倒である。代数的な tensor product の completion の取り方に色々あるからである。Künneth の定理の現況については, Uuye の [Uuy] をみるとよいのではないだろうか。

非可換な \(C^*\)-algebra の例としては, group \(C^*\)-algebra などの, 代数的構造から定義されたものが重要であるが, それらの \(K\)-theory も, 当然よく調べられている。

Group \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory に関係したことで重要なこととして Baum-Connes 予想がある。

• Baum-Connes 予想

Semigroup \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory を, 数論に使おうとしている人 もいる。 [Li14; Li16] など。

\(C^*\)-algebra の \(K\)理論では, Kasparov による bivariant版は重要である。 トポロジーでは, 類似の\(K\)理論は使われていないように思うが, そのようなものを構成するより, stable homotopy category で議論する方が自然なので, そうなったのだろう。\(C^*\)-algebra の\(K\)理論では, \(C^*\)-algebra を object, \(KK\)理論を morphism の集合と考えてできる triangulated category を, Kasparov category と呼び, そのホモロジー代数的な研究も行なわれるようになってきた。

• Kasparovの \(KK\)理論 (bivariant \(K\)-theory)
• Kasparov category

一方で, 安定ホモトピー論に翻訳することも, 試みられている。つまり, \(C^{*}\)-algebra などから, そのホモトピー群が \(K\)-theory になる spectrum を構成することである。

• \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory の spectrum model

最近の安定ホモトピー論の枠組みとしては, stable \((\infty ,1)\)-category も一般的であるが, この MathOverflow の質問では, Kasparov category が, ある stable \((\infty ,1)\)-category の homotopy category になっているかが聞かれている。

それを行なったものとして, Land と Nikolaus の [LN18] がある。 §3 で homotopy category が Kasparov category になる symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category \(\mathrm {KK}_{\infty }\) が構成されている。

また, Bunke [Bun] は, \(KK\)-theory だけでなく \(E\)-theory にも stable \(\infty \)-category の枠組みを使うことを提案している。

• \(E\)-theory

\(E\)-theory とは, Connes と Higson [CH90] により asymptotic morphism の homotopy category を用いて定義しされた bivariant \(K\)-theory である。 その equivariant version は Guentner と Higson と Trout [GHT00] により定義されている。

• equivariant \(E\)-theory

\(KK\)-theory は, 局所コンパクト空間の \(K\)-theory を考えるときにも, 有効のようである。Emerson と Meyer [EM09] は, \(KK\)-theory を用いて, 局所コンパクト空間に対してrepresentable \(K\)-theory の equivariant版を定義している。Representable \(K\)-theory 自体は, Phillips が [Phi89]で \(\sigma -C^*\)-algebra に対して定義したものであるが。

• representable \(K\)-theory
• equivariant representable \(K\)-theory

これや groupoid の作用も含めた, 局所コンパクト空間の equivariant bivariant \(K\)-theory に 関する Emerson と Meyer の結果については, Emerson による解説 [Eme11] がある。

• equivariant \(KK\)-theory

\(C^*\)-algebra にとって, \(K\)理論 がどれだけ良い不変量かを考えるのは自然な問題である。 もちろん \(C^*\)-algebra 全ては大きすぎるので, 特定の良い性質を持った \(C^*\)-algebra を考えるべきである。その手の問題については例えば, Toms の [Tom08] を見るとよい。

\(C^*\)-algebra だけでなく, 作用素環論や 微分幾何で現れる, より一般的な代数に対しても\(K\)理論を構成しようという試みはある。 Cuntz と Thom の [CT06] では, locally convex algebra に対して \(K\)理論を構成している。 Inassaridze と Kandelaki は, [IK11] で locally convex algebra に対し, smooth \(K\)-theory という functor を定義している。 これらの algebra に対しては, “algebraic \(K\)-theory” と “topological \(K\)-theory” が定義できるが, その関係について調べているのが Cortinas と Thom の [CT08] である。それによると, この話題については Rosenberg の survey [Ros05] を見るのがよいらしい。

Mahanta [Mah14] は, locally convex algebra に対する representable \(K\)-theory の拡張の twisted版を考えている。

• twisted representable \(K\)-theory

位相空間の \(K\)-theory には, Real \(K\)-theory や self-conjugate \(K\)-theory など, 各種変種が定義されているが, \(C^*\)-algebra の \(K\)-theory でもいくつかの試みがある。

• 実\(C^*\)-algebra に対する united \(K\)-theory [Boe02; Boe04]

Boersema は, これらの論文で Künneth theorem や普遍係数定理を考えている。 また, [Boe] では, united \(K\)-theory の取る \(CRT\)-module を決定している。

実 \(C^*\)-algebra に対しては, \(KO\)-theory の類似を考えるのも自然である。 この analytic \(KO\)-homology については, type I \(D\)-brane との関係から, Reis と Szabo と Valentino の [RSV09] で述べられている。

References

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