数論と関連した話題

代数的トポロジーでも, 素数の性質は知っておいた方がよい。 また modular form などのように, 思いもかけないものがホモトピー論の本質的な情報を持っていたりするので油断できない。 Connes らが研究しているように, noncommutative geometry と数論の関係も明らかになってきた。 3次元多様体のトポロジーと数論の類似性を指摘する人もいる。

• 数について
• 初等整数論
• zeta 関数とその類似
• formal group law
• 楕円曲線
• modular form
• Langlands Program
• 非可換幾何学と数論
• \(3\)次元多様体のトポロジーと数論の類似性

Ellenberg と Venkatesh と Westerland の論文 [EVW16] で, \(\mathrm {Int}(D^{2})\) の configuration space の universal cover を用いて構成された Hurwitz space の homological stability が, Cohen-Lenstra heuristics [CL84] や Cohen-Lenstra-Martinet heuristics [CM87] といった数論の予想と関係していることを知った。 このような数論的対象の 統計的分布を調べる分野を arithmetic statistics と呼ぶらしい。

• arithmetic statistics

References

[CL84]

H. Cohen and H. W. Lenstra Jr. “Heuristics on class groups of number fields”. In: Number theory, Noordwijkerhout 1983 (Noordwijkerhout, 1983). Vol. 1068. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1984, pp. 33–62. isbn: 3-540-13356-9. url: https://doi.org/10.1007/BFb0099440.

[CM87]

H. Cohen and J. Martinet. “Class groups of number fields: numerical heuristics”. In: Math. Comp. 48.177 (1987), pp. 123–137. url: https://doi.org/10.2307/2007878.

[EVW16]

Jordan S. Ellenberg, Akshay Venkatesh, and Craig Westerland. “Homological stability for Hurwitz spaces and the Cohen-Lenstra conjecture over function fields”. In: Ann. of Math. (2) 183.3 (2016), pp. 729–786. arXiv: 0912.0325. url: https://doi.org/10.4007/annals.2016.183.3.1.