位相空間に関する基本的な事柄

代数的トポロジーを学ぶ際に, 位相空間論について最低限必要なことを挙げてみることにしよう。 位相空間の教科書は色々ある。洋書で有名なところでは, やはり Kelley の [Kel75] だろうか。 位相空間論の専門家でないトポロジストの書いたものの方が使い易い, と思う。例えば, Munkres の [Mun00] とか。 Fuks と Rokhlin の本 [FR84] にも色々書いてある。

位相空間や連続写像については, 学部の授業で一通りのことを勉強しているはずであるが, それらの有難味は実際に使ってみないとわからない。 例えば, compact を弱めた概念として locally compact や paracompact があるが, それらは位相群や fiber bundle を勉強すると必要な概念であることが分かると思う。

• 各種 compact 性

分離公理 (separation axioms) には色んなレベルがある。

• 分離公理

この各種compact性と分離公理の様々なレベルを組合せたものが, よくつかう条件だろう。 被覆空間を考えるときには, 連結性も重要になる。

• 位相空間の連結性

他にも, 様々な形容詞の付いた位相空間が, 様々な用途で使われている。

• finite space
• Alexandroff space
• profinite space
• spectral space [Hoc69]
• sober space [Joh82]
• coherent space [Joh82]
• Noetherian space [Row]
• Stone space [Joh82]

連続写像の性質としては, とりあえず以下のものだろうか。

• 連続写像
• 開写像 (open map) と閉写像 (closed map)
• proper map
• 同相写像 (homeomorphism)
• 埋め込み (embedding) (中への同相)

伝統的に, stratified space を扱うときには, 各 stratum が locally closed であるという条件を課すことが多い。 その理由については, Yokura の [Yok20] を見るとよい。

• 局所閉集合 (locally closed)

写像空間の compact-open topology のように, 特定の形の部分集合を開集合として指定し, それらから「生成」されるもの, として新しい位相を定義することもよくある。 更に, コンパクト生成位相のように, 部分空間ではなく空間族を指定し, それらから生成される位相を使うこともある。

• 位相の基底 (base)
• 位相の準基底
• \(X\) の部分集合族 \(\mathcal {M}\) に対し, \(\mathcal {M}\) で生成された位相
• コンパクト生成位相
• 空間族で生成された位相

位相空間論では扱わないが, 空間対という概念は代数的トポロジーではよく使われる。

• 位相空間対 \((X,A)\)
• 位相空間対の間の写像 \[ f : (X,A) \longrightarrow (Y,B) \]
• 相対同相写像 (relative homeomorphism)
• retractの理論

位相空間の 圏を Kleisli category の structured object の圏として表わすこともできるらしい。 Seal の [Sea09] によると, Gähler の [Gäh92] で証明されたことらしい。

位相空間を圏とみなし, 圏論の言葉で位相空間論を考えた方が見通しがよいと主張する人 [CH03; CT03; Hof11; CH08] もいる。確かに, Lawvere [Law73] による, 距離空間 を enriched category とみなすという視点は面白い。

References

[CH03]

Maria Manuel Clementino and Dirk Hofmann. “Topological features of lax algebras”. In: Appl. Categ. Structures 11.3 (2003), pp. 267–286. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1024274315778.

[CH08]

Maria Manuel Clementino and Dirk Hofmann. “Relative injectivity as cocompleteness for a class of distributors”. In: Theory Appl. Categ. 21 (2008), No. 12, 210–230. arXiv: 0807.4123.

[CT03]

Maria Manuel Clementino and Walter Tholen. “Metric, topology and multicategory—a common approach”. In: J. Pure Appl. Algebra 179.1-2 (2003), pp. 13–47. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00246-3.

[FR84]

D. B. Fuks and V. A. Rokhlin. Beginner’s course in topology. Universitext. Berlin: Springer-Verlag, 1984, p. xi 519. isbn: 3-540-13577-4.

[Gäh92]

Werner Gähler. “Monadic topology—a new concept of generalized topology”. In: Recent developments of general topology and its applications (Berlin, 1992). Vol. 67. Math. Res. Berlin: Akademie-Verlag, 1992, pp. 136–149.

[Hoc69]

M. Hochster. “Prime ideal structure in commutative rings”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 142 (1969), pp. 43–60. url: https://doi.org/10.2307/1995344.

[Hof11]

Dirk Hofmann. “Injective spaces via adjunction”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.3 (2011), pp. 283–302. arXiv: 0804.0326. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.04.021.

[Joh82]

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[Kel75]

John L. Kelley. General topology. Vol. 27. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1975, p. xiv 298.

[Law73]

F. William Lawvere. “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974).

[Mun00]

James R. Munkres. Topology. 2nd. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall Inc., 2000, pp. xvi+537.

[Row]

James Rowe. Noncommutative tensor triangular geometry: classification via noetherian spectra. arXiv: 2308.14661.

[Sea09]

Gavin J. Seal. “A Kleisli-based approach to lax algebras”. In: Appl. Categ. Structures 17.1 (2009), pp. 75–89. arXiv: math/0510281. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-007-9080-9.

[Yok20]

Shoji Yokura. “Decomposition spaces and poset-stratified spaces”. In: Tbilisi Math. J. 13.2 (2020), pp. 101–127. arXiv: 1912.00339. url: https://doi.org/10.32513/tbilisi/1593223222.