群の作用についての基本的なこと

ここでは, 群の作用についての基本的な用語を集めた。

まずは, 作用の種類について:

• (位相)群や monoid の位相空間への左また右からの作用 (action)
• isotropy subgroup
• fixed point
• 推移的な (transitive) 作用
• 効果的な (effective) 作用
• 自由な (free) 作用
• properly discontinuous な作用
• semifree action

Semifree action とは, fixed point 以外では free になっている作用のことである。\(S^1\) の semifree action を持つ多様体の研究については, Masuda と Panov の [MP08] の Introduction に簡潔にまとめられている。 彼等の目的は, semifree \(S^1\)-action を持つ quasitoric manifold の構造を調べることであるが。

コンパクトではない位相群の作用を考えるときには, proper action という概念が必要になる。これについては, 例えば Baum, Hajac, Matthes, Szymanski の [Bau+] の §1 に詳しい説明がある。それによると, Biller の [Bil04] を見るとよいようである。以下の4種類の条件が比較され, 商空間の性質で特徴付けられている。

• Cartan action
• proper action
• Palais-proper action
• strongly proper action

この意味でも, 群の作用と商空間は密接な関係にある。

• orbit
• orbit space
• 自由で properly discontinuous な \(G\) の \(X\) への作用があるとき, 射影 \(X \to X/G\) は, 被覆空間になる。
• Lie群 \(G\) が completely regular space に自由に作用するとき, 射影 \(X\to X/G\) は principal \(G\)-bundle になる。[Pal61]

ホモトピー論的には, up to homotopy の作用をどう定義するか, そしてその本当の作用との違いも気になるところである。Prezma の [Pre12] によると, up to homotopy の作用については, Nowlan の [Now72], Cooke の [Coo78], Dwyer と Farjoun と Kan の [DDK80], Hollander の [Hol08] などがある。Hollander のは, category の作用であるが。Prezma 自身も Segal の \(\Gamma \)-space を用いて定義を与えている。

力学系では, 群の作用から定義されるコホモロジーが使われているようである。 例えば, Host と Kra の [HK05] など。Tao の この blog post に簡単な解説がある。

群の作用を持つ空間の間の写像としては, 作用と可換なもの, つまり equivariant map を考えるのが普通である。

• \(G\)-space の間の equivariant map
• \(G\)-space から \(G'\)-space への作用と可換な写像

\(G\)-space の間の equivariant map の中で isotropy subgroup を保つものを isovariant map と言うらしい。Klang と Yeakel の [KY] では, Browder と Quinn の [BQ75] が参照されているが, この論文で導入されたのだろうか。

• isovariant map

CW複体の equivariant version もある。例えば, Lück の [Lüc89] などに書いてある。

• \(G\)-CW complex

\(G\)-CW complex は, 部分群 \(H\) により \(G/H\times D^n\) と表される空間を cell のモデルにしたものであるが, May らの [May96] の中の Waner による章 (Chapter X) によると, duality などを考えるためには, \(D^n\) にも \(G\) の作用を考えたものを考える必要があるようである。彼は, そのようなものを \(G\)-CW(\(V\)) complex と呼んでいる。

Retract の理論の equivariant version もある。 Euclidean neighborhood retract (ENR) については, Jaworowski の [Jaw76] にその特徴付けがある。

• \(G\)-ANR (\(G\)-AR)
• \(G\)-ENR (\(G\)-ER)

\(G\)-ANR の間の equivariant map \(f : X \to Y\) が \(G\)-homotopy equivalence になるための条件としては, James と Segal [JS78] の結果がある。 つまり, \(G\) が compact Lie群のときは, 各 closed subgroup \(H\) に対し \(f^{H} : X^H \to Y^{H}\) がホモトピー同値であることが必要十分である。\(G\) が compact でないときの反例も挙げられている。

Antonyan [Ant12] は \(G\)-ANE という条件について考えている。 それによると, compact Lie 群 \(G\) と compact subgroup \(H\) に対し, \(G/H\) が \(G\)-ANE であることを示したのは Palais [Pal60] らしい。

• \(G\)-ANE (\(G\)-AE)

群の作用を持つ空間の間の写像については, Borsuk-Ulam の定理という古典的な結果がある。 現在でも組み合せ論などでよく使われている。

• Borsuk-Ulam の定理

群の partial action は, \(C^*\)-algebra の分類のために Exel [Exe94] により導入された, らしい。 Batista による survey [Bat17] を見るとよい。

• 群の partial action

References

[Ant12]

Sergey A. Antonyan. “Equivariant extension properties of coset spaces of locally compact groups and approximate slices”. In: Topology Appl. 159.9 (2012), pp. 2235–2247. arXiv: 1103.0804. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2011.10.019.

[Bat17]

Eliezer Batista. “Partial actions: what they are and why we care”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 24.1 (2017), pp. 35–71. arXiv: 1604.06393. url: https://doi.org/10.36045/bbms/1489888814.

[Bau+]

Paul F. Baum, Piotr M. Hajac, Rainer Matthes, and Wojciech Szymanski. Noncommutative Geometry Approach to Principal and Associated Bundles. arXiv: math/0701033.

[Bil04]

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[BQ75]

William Browder and Frank Quinn. “A surgery theory for \(G\)-manifolds and stratified sets”. In: Manifolds—Tokyo 1973 (Proc. Internat. Conf., Tokyo, 1973). Univ. Tokyo Press, Tokyo, 1975, pp. 27–36.

[Coo78]

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[Exe94]

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[Jaw76]

Jan W. Jaworowski. “Extensions of \(G\)-maps and Euclidean \(G\)-retracts”. In: Math. Z. 146.2 (1976), pp. 143–148.

[JS78]

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[KY]

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[Lüc89]

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[May96]

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[MP08]

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[Now72]

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[Pal60]

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[Pal61]

Richard S. Palais. “On the existence of slices for actions of non-compact Lie groups”. In: Ann. of Math. (2) 73 (1961), pp. 295–323.

[Pre12]

Matan Prezma. “Homotopy normal maps”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.2 (2012), pp. 1211–1238. arXiv: 1011 . 4708. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.1211.