分離公理

位相空間の分離公理の内, 位相空間論の授業で扱うものの中で重要なのは次の3つだろう。

• Hausdorff
• 正則 (regular)
• 正規 (normal)

最も弱い条件は \(T_{0}\) であるが, finite \(T_{0}\)-space は, 驚くことに, トポロジーの視点からも興味深い性質を持つ。

• \(T_{0}\)
• \(T_{1}\)

弱 Hausdorff というのは, 位相空間論の授業ではあまり扱わないと思うが, 代数的トポロジーでは有用な条件である。McCord [McC69] により導入された。その論文によると, J.C. Moore の suggestion によるらしい。 コンパクト生成位相を考えるときに用いる。

• 弱 Hausdorff (weak Hausdorff)

Completely regular とは, 閉集合とその中にない\(1\)点が, 連続関数で分離できることで, regular と normal の中間に位置する。 可換な \(C^*\)-algebra の圏と compact Hausdorff space の圏の間の Gel\('\)fand-Naimark の双対性の証明に登場する。

• completely regular

基本的な性質としては以下のものが挙げられる。

• Hausdorff 空間の部分空間は Hausdorff
• Hausdorff 空間の retract は閉集合
• 正則空間の部分空間は正則
• 正規空間の部分空間は正規とは限らない
• 正規空間の閉部分空間は正規

被覆空間の理論では, 連結性や単連結性を局所的にした条件が必要になるが, Hausdorff 性についても修正する必要があるらしい。Fischer らの [Fis+11] では, 次のようなものが使われている。

• homotopically Hausdorff
• strongly homotopically Hausdorff
• homotopically path-Hausdorff

References

[Fis+11]

Hanspeter Fischer, Dušan Repovš, Žiga Virk, and Andreas Zastrow. “On semilocally simply connected spaces”. In: Topology Appl. 158.3 (2011), pp. 397–408. arXiv: 1102 . 0993. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2010.11.017.

[McC69]

M. C. McCord. “Classifying spaces and infinite symmetric products”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 146 (1969), pp. 273–298. url: https://doi.org/10.2307/1995173.