James’ Reduced Product Construction

I. James は [Jam55] で, \(\Omega \Sigma X\) の 組み合せ論的モデル \(J(X)\) を導入した。 Reduced product, あるいは James construction という。

• \(J(X)\)
• Gray [Gra73] によるその relative version

集合としては, 単に \(X\) で生成された自由モノイドである。重要な性質は, \(X\) の基点が非退化なとき, \(\Omega \Sigma X\) と 弱ホモトピー同値になることであるが, その証明は, Fiedorowicz の Moore suspension を用いた証明 [Fie84] が最も自然なものだろう。

他にも Fantham, James, Mather [FJM96] では, tom Dieck, Kamps, Puppe の [DKP70] の最後の章にある証明が挙げられている。Fantham ら自身は, 基点が非退化である compact Hausdorff 空間という仮定の下での短い証明を見付けている。

自然な疑問として, 基点が非退化ではないときに何が起こるか, というものが思い浮かぶが, ほとんど調べられたことがないようである。 最近になって, Brazas と Gillespie の [BG22] で 基本群のことが調べられている。

また, suspension すると split するというのも基本的で重要な性質である。 つまり \(X\) が非退化な基点を持つ空間のとき, 弱ホモトピー同値

がある。 James が [Jam55] で証明したので, James splitting と呼ばれる。

• James splitting

関連した分解として Hilton-Milnor の定理 (分解) がある。Fred Cohen の lecture notes [Coh87] に書かれているのは次の形である。

元々は, Hilton の [Hil55a; Hil55b] と Milnor の preprint で証明された。Milnor の論文は, Adams の Student’s Guide に [Mil72] として収録されているが。

• Hilton-Milnor theorem

James splitting は, 例えば EHP sequence の構成で必要になるが, EHP sequence を motivic homotopy theory のような, 位相空間の圏に類似の圏で構成するためには, より一般的な枠組みで構成したい。それについては Devalapurkar と Heine の [DH21] がある。ある条件をみたす \((\infty ,1)\)-catgory で James splitting や Hilton-Milnor の定理が成り立つことを示している。

James construction とそれに関連した構成を, ホモトピー群の構造を調べるのに用いるというのは, Fred Cohen のアイデア, だと思う。Wu と Grbic は [GW06] で Whitehead product の Hopf invariant や exponent の growth などに応用している。

References

[BG22]

Jeremy Brazas and Patrick Gillespie. “Fundamental groups of James reduced products”. In: Topology and its Applications 317 (2022), p. 108193. url: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016686412200195X.

[Coh87]

F. R. Cohen. “A course in some aspects of classical homotopy theory”. In: Algebraic topology (Seattle, Wash., 1985). Vol. 1286. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 1–92. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078738.

[DH21]

Sanath Devalapurkar and Peter Haine. “On the James and Hilton-Milnor splittings, and the metastable EHP sequence”. In: Doc. Math. 26 (2021), pp. 1423–1464. arXiv: 1912.04130.

[DKP70]

Tammo tom Dieck, Klaus Heiner Kamps, and Dieter Puppe. Homotopietheorie. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 157. Berlin: Springer-Verlag, 1970, pp. vi+265.

[Fie84]

Z. Fiedorowicz. “Classifying spaces of topological monoids and categories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 301–350. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374307.

[FJM96]

Peter Fantham, Ioan James, and Michael Mather. “On the reduced product construction”. In: Canad. Math. Bull. 39.4 (1996), pp. 385–389. url: https://doi.org/10.4153/CMB-1996-046-2.

[Gra73]

Brayton Gray. “On the homotopy groups of mapping cones”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 26 (1973), pp. 497–520.

[GW06]

Jelena Grbić and Jie Wu. “Applications of combinatorial groups to Hopf invariant and the exponent problem”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), pp. 2229–2255. arXiv: math/0602204. url: https://doi.org/10.2140/agt.2006.6.2229.

[Hil55a]

P. J. Hilton. “On the homotopy groups of the union of spheres”. In: J. London Math. Soc. 30 (1955), pp. 154–172. url: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-30.2.154.

[Hil55b]

P. J. Hilton. “On the homotopy groups of unions of spaces”. In: Comment. Math. Helv. 29 (1955), pp. 59–92. url: https://doi.org/10.1007/BF02564271.

[Jam55]

I. M. James. “Reduced product spaces”. In: Ann. of Math. (2) 62 (1955), pp. 170–197. url: https://doi.org/10.2307/2007107.

[Mil72]

John W. Milnor. “On the construction of \(FK\)”. In: Algebraic topology—a student’s guide. Vol. 4. London Mathematical Society Lecture Note Series. London: Cambridge University Press, 1972, pp. 119–136.