Morse 理論の一般化

Morse 理論は, その有用性から一般化が様々な方向に様々な人によって考えられている。

• generalized Morse function
• framed function
• framed function の成す simplicial set

Generalized Morse function とは, Morse 関数に birth-death singularity を許した関数であり, framed function はそれに framing の情報を付け加えたものである。K. Igusa [Igu87] は, framed function の成す空間 (simplicial set) を導入し, \(n\) 次元多様体上の framed function の空間が \((n-1)\) 連結であることを示している。

Lurie [Lur09] は, topological quantum field theory での cobordism hypothesis を証明するために, framed function の成す空間が可縮であることを示している ([Lur09] の Theorem 3.4.7 と Remark 3.4.8) が, これは Igusa の結果の精密化になっている。また, Eliashberg と Mishachev [EM12] が別証を考えている。

Mathai と Shubin [MS] によると, より一般の closed \(1\)-form を考えることを suggest したのは Novikov [Nov82; Nov86] らしい。 Farber [Far85] や Pazhitnov [Paz91] により調べられている。

• Morse \(1\)-form

Barraud, Gadbled, Le [Bar+20]は, そのアイデアを元に 基本群の 「Novikov版」を定義している。

\(S^1\) に値を持つ Morse 関数については, Pajitnov の本 [Paj06] がある。Kohno と Pajitnov [KP15] は hyperplane arrangement の complement のホモロジーへの応用を考えている。

• \(S^1\)-valued Morse theory

境界を持つ多様体の場合は, Akaho の [Aka07] や Laudenbach の [Lau11] がある。 2012年5月30日の信州トポロジーセミナーでの赤穂まなぶ氏自身の講演で知った。

• 境界を持つ多様体の Morse theory

Borodzik と Némethi と Ranicki の [BNR16] によると, Kronheimer と Mrowka [KM07] も考えていたようである。 他にも Jankowski と Rubinsztein の [JR72], Braess の [Bra74], Hajduk の[Haj81] などの文献が挙げられている。Borodzik らは, interior critical point を boundary に移動できることを示している。 その際に1つの interior critical point が2つの boundary critical point に分割されるが。これにより, 境界を持つ多様体の Morse関数としては, critical point が全て boundary にあるものだけ考えればよいようである。 最近でも, Pushkar の [Pus] がある。

Cohen-Jones-Segal の Morse theory は, 多様体 \(M\) 上の Morse-Smale function \(f\) から topological category \(C_{f}\) で \(BC_{f}\simeq M\) となるものを作る試みであるが, 位相空間上の Reeb function に対し同様のことを考えたものとして, Trygsland の [Try; VHT] がある。彼は section category という topological category を定義し, その分類空間が元の空間とホモトピー同値になることを示している。

• Reeb function
• section category

Noncompact な場合を考えている人もいる。Rybakowski と Zehnder の [RZ85], Benci の [Ben91], Razvan の [Raz00] など。

パラメトライズされたもの, つまり fiberwise 版も考えられている。 2010年7月5日の信州トポロジーセミナーでの渡邊忠之氏の講演で知った。 K. Igusa の仕事が重要であるようである。 [Igu84; Igu87; Igu02; Igu05] など。

可微分多様体以外にも胞体分割できる空間は色々あるので, それらにも, Morse理論を拡張しようというのは自然なアイデアである。

• stratified Morse 理論
• discrete Morse 理論
• orbifold の Morse 理論 (Hepworth の [Hep09])

Discrete Morse theory には, 多様体の Morse theory の一般化に対応した, 様々な一般化や変種が考えられている。

• discrete Morse theory の 一般化や変種

無限次元多様体に対する Morse 理論を構築しようという試みも色々ある。Hilbert manifold については, Abbondandolo と Majer の [AM05; AM04; AM06] などにある文献をみてみるとよい。Qin の [Qin10] もある。

• Hilbert manifold の Morse 理論

いわゆる Morse 理論ではないが, Morse 関数を用いて元の多様体に関連した空間を作る別の方法もある。Maksymenko [Mak08] は, 曲面 \(M\) の場合に, Morse 関数の diffeomorphism による orbit が \(M\) の configuration space のある被覆空間になることを示している。

Morse 理論の複素数版が Picard-Lefschetz theory であるということは, 色んな人が言っている。例えば, Arnol\('\)d の [Arn95] など。 実際に Morse 関数の「複素化」を作ろうとしている人 [Joh] もいる。

• Picard-Lefschetz theory

非可換版は, Milaniと Mansoubeigi と Rezaei の [MRM11] で考えられている。

• \(C^*\)-algebra の Morse theory

Morse 理論の \(\mathbb {A}^{1}\)-homotopy theory での類似は, Wendt の [Wen] で考えられている。Morse 関数の代わりに, isolated fixed point を持つ \(\mathbb {G}_{m}\) の作用を gradient flow とみなしている。

References

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