各種代数的構造の deformation theory

代数的構造の deformatioin theory の始まりは, Gerstenhaber の [Ger64] だろうか。そこには deformation theory について 4つの条件が書いてある。その中に, 代数的トポロジーと関係の深い条件として formal deformation やその integrability の obstruction などが, 適当なコホモロジー論で記述できるというものがある。Gerstenhaber の調べた associative algebra の deformation theory では, Hochschild cohomology がその cohomology theory である。 Gerstenhaber は, [Ger63] で調べた associative algebra の Hochschild cohomology の持つ構造が deformation theory と関係していることを示した。

• Hochschild cohomology
• Gerstenhaber algebra

このような algebra の deformation theory ついての簡潔にまとまった解説としては, Doubek とMarkl と Zima の [DMZ] や Giaquinto の [Gia] がある。Moduli space を中心に書かれた解説としては, Hartshorne の lecture note がある。

Algebra の deformation theory の relative 版が morphism の deformation theory, より一般に algebra の diagram の deformation theory である。 Gerstenhaber と Schack の [GS83; GS85; GS88] といった仕事がある。

Algebra の deformation theory の dual として coalgebra の deformation theory も考えられる。これについても, Gerstenhaber と Schack が [GS92] で調べている。その relative version を Donald Yau [Yau07] が考えている。もちろん bialgebra や Hopf algebra の deformation theory も考えられている。 [GS90; MS94; Car+] などである。

Yau は, [Yau] で Loday の定義した dialgebra の deformation theory を展開している。

各種ホモロジー代数的構成の類似が spectrum の category でできるようになったので, deformation theory を structured ring spectrum に拡張しようというのは自然なアイデアである。 実際, \(E_{\infty }\)-ring spectrum の deformation theory は, Lurie の Higher Algebra [Lur] の §7.4 にある。

Herscovich と Solotar と Suárez-Álvarez の [HSS14] によると, 他のアプローチとして, Berger と Ginzburg [BG06] の PBW deformation や weak PBW deformation というものがあるらしい。彼等は, それと Gerstenhaber の deformation theory との関係を調べている。

References

[BG06]

Roland Berger and Victor Ginzburg. “Higher symplectic reflection algebras and non-homogeneous \(N\)-Koszul property”. In: J. Algebra 304.1 (2006), pp. 577–601. arXiv: math/0506093. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.03.011.

[Car+]

J. Scott Carter, Alissa S. Crans, Mohamed Elhamdadi, and Masahico Saito. Cohomology of the adjoint of Hopf algebras. arXiv: 0705.3231.

[DMZ]

M. Doubek, M. Markl, and P. Zima. Deformation Theory (lecture notes). arXiv: 0705.3719.

[Ger63]

Murray Gerstenhaber. “The cohomology structure of an associative ring”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 267–288.

[Ger64]

Murray Gerstenhaber. “On the deformation of rings and algebras”. In: Ann. of Math. (2) 79 (1964), pp. 59–103.

[Gia]

Anthony Giaquinto. Topics in Algebraic Deformation Theory. arXiv: 1011.1299.

[GS83]

M. Gerstenhaber and S. D. Schack. “On the deformation of algebra morphisms and diagrams”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 279.1 (1983), pp. 1–50. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999369.

[GS85]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “On the cohomology of an algebra morphism”. In: J. Algebra 95.1 (1985), pp. 245–262. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(85)90104-8.

[GS88]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Sometimes \(H^1\) is \(H^2\) and discrete groups deform”. In: Geometry of group representations (Boulder, CO, 1987). Vol. 74. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1988, pp. 149–168. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/074/957517.

[GS90]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Bialgebra cohomology, deformations, and quantum groups”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 87.1 (1990), pp. 478–481. url: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.87.1.478.

[GS92]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Algebras, bialgebras, quantum groups, and algebraic deformations”. In: Deformation theory and quantum groups with applications to mathematical physics (Amherst, MA, 1990). Vol. 134. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1992, pp. 51–92. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/134/1187279.

[HSS14]

Estanislao Herscovich, Andrea Solotar, and Mariano Suárez-Álvarez. “PBW-deformations and deformations à la Gerstenhaber of \(N\)-Koszul algebras”. In: J. Noncommut. Geom. 8.2 (2014), pp. 505–539. arXiv: 1105.0211. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/163.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[MS94]

Martin Markl and James D. Stasheff. “Deformation theory via deviations”. In: J. Algebra 170.1 (1994), pp. 122–155. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1994.1331.

[Yau]

Donald Yau. Deformation theory of dialgebra morphisms. arXiv: math/0604404.

[Yau07]

Donald Yau. “Deformations of coalgebra morphisms”. In: J. Algebra 307.1 (2007), pp. 106–115. arXiv: math/0602173. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.02.003.