Differential graded Lie algebra と関連した概念

Lie algebra の中で, differential を持つ differential graded Lie algebra (dg Lie algebra) も代数的トポロジーにはよく登場する。 有理ホモトピー論では重要な道具であるし, Cohen-Moore-Neisendorfer のホモトピー群の exponent に関する仕事でも使われている。

Schlessigner と Stasheff の [SS] によると, Goldman と Millson への手紙の中で, deformation theory のどんな問題も dg Lie algebra で control されるということを主張したのは, Deligne らしい。

ある種の graded associative algebra からは, 自然に graded Lie algebra ができる。Denham と Suciu の [DS06] に定義がある。

• holonomy Lie algebra
• homotopy Lie algebra

他には, [Avr98; FL02] などを見るとよい。

Dg Lie algebra の モデル圏の構成については, [Sho] がある。

Fiorenza と Manetti と Martinengo の [FMM12] では, semicosimplicial dg Lie algebra というものが考えられている。その total complex に \(L_{\infty }\)-structure が入ることが示されている。 \(L_{\infty }\)-algebra は dg Lie algebra の一般化としても重要である。

• \(L_{\infty }\)-algebra

Dg Lie algebra から simplicial set を作る, つまりその「幾何学的実現」を取る方法はいくつかある。Buijs らの [Bui+] では次のものが挙げられている。

• Quillen のもの [Qui69]
• Bousfield と Guggenheim のもの [BG76]
• Hinich のもの [Hin97]
• Buijs, Félix, Murillo, Tanréの [Bui+20]

Hinich のものは, 単体上の polynomial differential form の成す simplicial commutative dg algebra \(\Omega _{\bullet }\) から \(\mathfrak {g}\otimes \Omega _{\bullet }\) として得られる simplicial dg Lie algebra の Maurer-Cartan element の集合として定義される。 なので, Getzler の [Get09] では, Maurer-Cartan simplicial set と呼ばれている。 Buijs ら [Bui+] は, 彼等が [Bui+20] で導入したものと, Maurer-Cartan simplicial set が同値であることを示している。

また, Maurer-Cartan simplicial set の構成は, \(L_{\infty }\)-algebra に一般化される。Moreno-Fernández と Wierstra [MW] など。 彼等は群作用を調べている。

References

[Avr98]

Luchezar L. Avramov. “Infinite free resolutions”. In: Six lectures on commutative algebra (Bellaterra, 1996). Vol. 166. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1998, pp. 1–118.

[BG76]

A. K. Bousfield and V. K. A. M. Gugenheim. “On \(\mathrm {PL}\) de Rham theory and rational homotopy type”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 8.179 (1976), pp. ix+94. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0179.

[Bui+]

Urtzi Buijs, Yves Félix, Aniceto Murillo, and Daniel Tanré. The infinity Quillen functor, Maurer-Cartan elements and DGL realizations. arXiv: 1702.04397.

[Bui+20]

Urtzi Buijs, Yves Félix, Aniceto Murillo, and Daniel Tanré. “Lie models of simplicial sets and representability of the Quillen functor”. In: Israel J. Math. 238.1 (2020), pp. 313–358. arXiv: 1508.01442. url: https://doi.org/10.1007/s11856-020-2026-8.

[DS06]

Graham Denham and Alexander I. Suciu. “On the homotopy Lie algebra of an arrangement”. In: Michigan Math. J. 54.2 (2006), pp. 319–340. arXiv: math/0502417. url: http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1156345597.

[FL02]

R. Fröberg and C. Löfwal. “Koszul homology and Lie algebras with application to generic forms and points”. In: Homology Homotopy Appl. 4.2, part 2 (2002). The Roos Festschrift volume, 2, pp. 227–258.

[FMM12]

Domenico Fiorenza, Marco Manetti, and Elena Martinengo. “Cosimplicial DGLAs in deformation theory”. In: Comm. Algebra 40.6 (2012), pp. 2243–2260. arXiv: 0803.0399. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927872.2011.577479.

[Get09]

Ezra Getzler. “Lie theory for nilpotent \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Ann. of Math. (2) 170.1 (2009), pp. 271–301. arXiv: math/0404003. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2009.170.271.

[Hin97]

Vladimir Hinich. “Descent of Deligne groupoids”. In: Internat. Math. Res. Notices 5 (1997), pp. 223–239. arXiv: alg-geom/9606010. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792897000160.

[MW]

José M. Moreno-Fernández and Felix Wierstra. On the homotopy fixed points of Maurer-Cartan spaces with finite group actions. arXiv: 2203.03200.

[Qui69]

Daniel Quillen. “Rational homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 205–295. url: https://doi.org/10.2307/1970725.

[Sho]

Boris Shoikhet. An explicit construction of the Quillen homotopical category of dg Lie algebras. arXiv: 0706.1333.

[SS]

Mike Schlessinger and Jim Stasheff. Deformation theory and rational homotopy type. arXiv: 1211.1647.