Lie algebra

Lie bracket という “Jacobi identity” が成り立つ “skew-symmetric” な積を持つ代数的構造を Lie algebra という。

• Lie algebra の基本

Lie群やベクトル場など, 微分幾何の文脈で用いられる ものと, 純粋に代数的対象として考える場合がある。 Lie群からは, その単位元での接空間を考えることで Lie algebra が作られるが, 逆に Lie algebra やそれに類するものの, 元になっている幾何学的対象を見つけるという問題も考えられている。 その手の問題を積分問題と呼ぶらしい。 Lie 群から Lie algebra を作る操作を微分と考え, その逆だから積分というのだろう。

• Lie algebra の一般化に対する積分問題

代数的に調べるときには, Poincaré-Birkoff-Witt の定理は有用である。

• Poincaré-Birkoff-Witt theorem

代数的トポロジーでは, ホモロジーやホモトピー群に現われる代数的構造としての Lie algebraが重要である。よって, 次数付きの Lie algebra を考えることが多い。 その場合, Jacobi identity や skew-symmetricity について, 次数を考慮したものを考える。 更に微分を持つ differential graded Lie algebra もよく使われる。

• Samelson 積と Whitehead 積
• differential graded Lie algebra と関連した概念

例えば, ホモトピー群では, CohenとMooreとNeisendorfer [CMN79a; CMN79c; CMN79b] のホモトピー群の exponent の研究に使われている。

標数 \(p>0\) の体では, Lie bracket 以外に, restriction という, \(p\)巾に対応する作用素を持つ restricted Lie algebra を考えた方が良い場合が多い。代数的トポロジーでは, 多重ループ空間のホモロジー を調べる際に必要になる。May と Ponto の [MP12] の Chapter 23 にまとめられている。

• restricted Lie algebra

他にも Lie algebra の一般化は様々な方向で考えられている。

• Lie algebraの変種と一般化

その他, Lie algebra に関係したこととして次のような話題がある。

• 無限次元Lie環と関連した話題
• Lie algebra の cohomology

References

[CMN79a]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Decompositions of loop spaces and applications to exponents”. In: Algebraic topology, Aarhus 1978 (Proc. Sympos., Univ. Aarhus, Aarhus, 1978). Vol. 763. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1979, pp. 1–12.

[CMN79b]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “The double suspension and exponents of the homotopy groups of spheres”. In: Ann. of Math. (2) 110.3 (1979), pp. 549–565. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971238.

[CMN79c]

F. R. Cohen, J. C. Moore, and J. A. Neisendorfer. “Torsion in homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 109.1 (1979), pp. 121–168. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971269.

[MP12]

J. P. May and K. Ponto. More concise algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Localization, completion, and model categories. Chicago, IL: University of Chicago Press, 2012, pp. xxviii+514. isbn: 978-0-226-51178-8; 0-226-51178-2.