Lie algebra の cohomology

Lie algebra \(\mathfrak {g}\) の (co)homology には, いくつかアプローチがある。具体的に (co)chain complex を作る方法もあるが, universal enveloping algebra \(U(\mathfrak {g})\) の associative algebra としての (co)homology として定義するのが最も扱い易いと思う。

Lie algebra の cohomology について, まず知っておくべきなのは, 対応する Lie 群の de Rham cohomology との関係, いわゆる Chevalley-Eilenberg isomorphism [CE48] である。

• Lie 群 \(G\) とその Lie algebra \(\mathfrak {g}\) に対し, 次の同型がある: \[ H^{*}_{\textrm {Lie}}(\mathfrak {g};\R ) \cong H^{*}_{\mathrm {dR}}(G) \]

以上は, 体上の Lie algebra に関することであるが, 体とは限らない可換環上の Lie algebra の (co)homology には, いくつかの方法がある。例えば, Ivanov らの [Iva+] では, 5種類の異なる定義で, 体上では一致するものについて述べられている。

Lie algebra の cohomology に対応する形で, Leibniz algebra の cohomology が定義されている。

• Leibniz cohomology

Lie algebra は Leibniz algebra だから, Lie algebra の Leibniz cohomology を考えることができる。Lodder の [Lod98b] では foliation の Godbillon-Vey class が Leibniz cohomology で表わせることが示されている。

Hoffbeck と Vespa [HV15]は Leibniz homology が functor homologyとして表せることを示している。

Loday と Quillen [LQ84], そして Tsygan [Tsy83] は cyclic homology との関係を発見しているが, その Leibniz algebra に対する類似を Cuvier [Cuv94] と Loday [Lod98a] が証明している。

Lie algebra の一般化や変種の中で最も良く知られているのは, 量子群だと思うが, Kaygun と Stülü [KS] によると, 量子群に対する Lie algebra homology の類似は, Hopf-cyclic cohomology である。彼等は, Connes と Moscovici の [CM] の Theorem 15 を参照している。 そこに書かれているのは relative 版であり, absolute 版は [CM98] で証明されている。

• Hopf-cyclic cohomology

References

[CE48]

Claude Chevalley and Samuel Eilenberg. “Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), pp. 85–124. url: https://doi.org/10.2307/1990637.

[CM]

Alain Connes and Henri Moscovici. Background independent geometry and Hopf cyclic cohomology. arXiv: math/0505475.

[CM98]

A. Connes and H. Moscovici. “Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem”. In: Comm. Math. Phys. 198.1 (1998), pp. 199–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050477.

[Cuv94]

C. Cuvier. “Algèbres de Leibnitz: définitions, propriétés”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 27.1 (1994), pp. 1–45. url: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1994_4_27_1_1_0.

[HV15]

Eric Hoffbeck and Christine Vespa. “Leibniz homology of Lie algebras as functor homology”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.9 (2015), pp. 3721–3742. arXiv: 1401.6139. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.12.019.

[Iva+]

Sergei O. Ivanov, Fedor Pavutnitskiy, Vladislav Romanovskii, and Anatolii Zaikovskii. On homology of Lie algebras over commutative rings. arXiv: 2010.00369.

[KS]

Atabey Kaygun and Serkan Sütlü. Quantum van Est Isomorphism. arXiv: 2205.02828.

[Lod98a]

Jean-Louis Loday. Cyclic homology. Second. Vol. 301. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Appendix E by María O. Ronco, Chapter 13 by the author in collaboration with Teimuraz Pirashvili. Springer-Verlag, Berlin, 1998, pp. xx+513. isbn: 3-540-63074-0. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-11389-9.

[Lod98b]

Jerry M. Lodder. “Leibniz cohomology for differentiable manifolds”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 48.1 (1998), pp. 73–95. url: http://www.numdam.org/item?id=AIF_1998__48_1_73_0.

[LQ84]

Jean-Louis Loday and Daniel Quillen. “Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices”. In: Comment. Math. Helv. 59.4 (1984), pp. 569–591. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02566367.

[Tsy83]

B. L. Tsygan. “Homology of matrix Lie algebras over rings and the Hochschild homology”. In: Uspekhi Mat. Nauk 38.2(230) (1983), pp. 217–218.