Monoid

Monoid とは, 群の定義から逆元の存在の条件を外したものである。 群は object が1つの groupoid とみなすことができるので, monoid もobject が1つの small category とみなすのが自然である。そう考えると, 群と同様に基本的な概念であることに納得できるだろう。 単位元の存在も仮定しないものは, semigroup と呼ばれる。 更に, 結合法則も仮定しないものは magma と呼ばれるようである。 他にも様々な一般化が考えられている。

• monoid の一般化

Monoid や semigroup は, 当然, 代数的な構造として色々調べられている。例えば, その表現論など。

• semigroup や monoid の表現論

可換な monoid は, 代数幾何学の一般化でも使われる。

• commutative monoid

代数的トポロジーでは, 様々な場面で monoid が現れる。例えば, 基点付き空間上の, 長さを固定しない loop の成す空間, つまり Moore loop space は, 道の結合で monoid になる。 また, ある空間上の vector bundle の同型類の集合には, 直和で (可換な) monoid の構造が入る。 普通は, これに形式的に逆元を付け加えてAbel群にし, \(K\)-theory として考えるのであるが。

このように, monoid に対して群を作る操作は, group completion と呼ばれている。Topological monoid では空間レベルでの構成もあり, 多重ループ空間の理論等で重要である。

• (discrete) monoid の group completion
• topological monoid の (ホモトピー論的な) group completion

このように monoid を考えるときには, 群に関連付けるのが楽である。 群に関する概念で monoid に一般化される, あるいは monoid に対する定義が本質的なものもある。準同型がその典型であるが, Cayley graph を quiver と して定義するときには, monoid あるいは semigroup として考えていることになる。

群のように, monoid を生成元と関係式で表わすこと, つまり monoid の presentation, も考えられている。

• monoid の presentation

一方, 群の拡大の類似を展開するのは難しいようである。Faul の [Fau22] は, Schreier-type extension という種類の extension に関する survey である。Rédei [Réd52] により導入されたもののようである。 Manuell [Man22] は Grothendieck construction を使うことを提案している。

組み合せ論などで登場する monoid として, 次のようなものがある。

• plactic monoid
• hypoplactic monoid
• Sylvester monoid
• stalactic monoid
• Taiga monoid
• Baxter monoid

Cain と Malheiro の [CM19] で, それらの cyclic shift graph が調べられている。

• monoid の cyclic shift graph

Coxeter system からは, Coxeter 群や Artin 群などの群が作られるが, monoid を作ることも考えられている。

• braid monoid あるいは Artin monoid
• dual braid monoid [Bes03]

群にならない monoid でも逆元の類似を持つ場合もある。Everitt と Fountain の [EF; EF10] では, inverse monoid と呼ばれている。 その論文では, reflection group の類似の reflection monoid という概念が定義されている。そこでは, inverse monoid についての文献として [How95; Law98] などが挙げられている。

• inverse semigroup や inverse monoid
• pseudogroup

Pseudogroup は, 同相や微分同相を局所的に考えるときに現われる inverse monoid の一種である。代数的トポロジーではあまり使わない, かもしれない。正確な定義は, 例えば, Thurston の [Thu97] の p.110 を見るとよい。Lawson と Lenz の [LL13] では, Resende の [Res07] が参照されている。

Pseudogroup の morphism については, Haefliger [Hae88] が定義した étale morphism があるが, それを一般化した morphism を Álvarez López と Masa が [ÁM08] で定義している。

References

[ÁM08]

Jesús A. Álvarez López and Xosé M. Masa. “Morphisms between complete Riemannian pseudogroups”. In: Topology Appl. 155.6 (2008), pp. 544–604. arXiv: 1311.3511. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2007.12.001.

[Bes03]

David Bessis. “The dual braid monoid”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 36.5 (2003), pp. 647–683. arXiv: math / 0101158. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2003.01.001.

[CM19]

Alan J. Cain and António Malheiro. “Combinatorics of cyclic shifts in plactic, hypoplactic, sylvester, Baxter, and related monoids”. In: J. Algebra 535 (2019), pp. 159–224. arXiv: 1709.03974. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.06.025.

[EF]

Brent Everitt and John Fountain. Partial mirror symmetry I: reflection monoids. arXiv: math/0701313.

[EF10]

Brent Everitt and John Fountain. “Partial symmetry, reflection monoids and Coxeter groups”. In: Adv. Math. 223.5 (2010), pp. 1782–1814. arXiv: 0812.2789. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.10.008.

[Fau22]

Peter F. Faul. “A survey of Schreier-type extensions of monoids”. In: Semigroup Forum 104.3 (2022), pp. 519–539. arXiv: 2102.12934. url: https://doi.org/10.1007/s00233-022-10265-7.

[Hae88]

André Haefliger. “Leaf closures in Riemannian foliations”. In: A fête of topology. Academic Press, Boston, MA, 1988, pp. 3–32.

[How95]

John M. Howie. Fundamentals of semigroup theory. Vol. 12. London Mathematical Society Monographs. New Series. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995, pp. x+351. isbn: 0-19-851194-9.

[Law98]

Mark V. Lawson. Inverse semigroups. The theory of partial symmetries. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1998, pp. xiv+411. isbn: 981-02-3316-7. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812816689.

[LL13]

Mark V. Lawson and Daniel H. Lenz. “Pseudogroups and their étale groupoids”. In: Adv. Math. 244 (2013), pp. 117–170. arXiv: 1107. 5511. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.04.022.

[Man22]

Graham Manuell. “Monoid extensions and the Grothendieck construction”. In: Semigroup Forum 105.2 (2022), pp. 488–507. arXiv: 2112.10288. url: https://doi.org/10.1007/s00233-022-10294-2.

[Réd52]

L. Rédei. “Die Verallgemeinerung der Schreierschen Erweiterungstheorie”. In: Acta Sci. Math. (Szeged) 14 (1952), pp. 252–273.

[Res07]

Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math / 0412478. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.

[Thu97]

William P. Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Vol. 35. Princeton Mathematical Series. Edited by Silvio Levy. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997, pp. x+311. isbn: 0-691-08304-5.