Amenable Groups and Groupoids

局所コンパクト群, 特に離散群の amenability については, 同値な定義が数多くあり, “amenable” という言葉をある文献で初めて見つけ, その定義を調べようと思ったときには, どこから始めていいのか迷ってしまう。

まず Tao による解説とそのコメントを読んでみるのが良いかもしれない。

それによると, amenability が有用なのは, その群に関し “asymptotic averages” を取ることができるからのようである。例えば, amenable group が compact な空間に作用していたら, その空間の上に invariant probability measure が定義できる, など。Tao によると, その起源は Banach-Tarski の paradox らしい。それについての解説も Tao のblog にある。

本としては, Paterson の [Pat88] がある。Runde の lecture note [Run02] もある。

• 局所コンパクト群の amenability
• 離散群の amenability

Amenability は, 群の作用や力学系と関係深いので, groupoid にも自然に拡張される。Amenable groupoid についての本[AR00] もある。

• amenable groupoid

局所コンパクト群の amenability を Hochschild cohomology を用いて特徴づけたのは, B.E. Johnson [Joh72] である。 それにより amenability が Banach algebra へ拡張された。

• first Hochschild cohomology の vanishing による amenability の特徴づけ
• amenable Banach algebra

他にも, 次のようなものに対し amenability が考えられている。

• monoidal \(C^{*}\)-category [NT]
• locally compact quantum group [Bra]

群に対しては, group \(C^*\)-algebra が定義できるが, その\(K\)-theory を用いて Cuntz [Cun83] が \(K\)-amenability を定義している。

• \(K\)-amenability

その定義は, 局所コンパクト群に [JV84] で, そして locally compact quantum group に [Ver04] で拡張されている。

References

[AR00]

C. Anantharaman-Delaroche and J. Renault. Amenable groupoids. Vol. 36. Monographies de L’Enseignement Mathématique [Monographs of L’Enseignement Mathématique]. With a foreword by Georges Skandalis and Appendix B by E. Germain. Geneva: L’Enseignement Mathématique, 2000, p. 196. isbn: 2-940264-01-5.

[Bra]

Michael Brannan. Approximation properties for locally compact quantum groups. arXiv: 1605.1770.

[Cun83]

Joachim Cuntz. “\(K\)-theoretic amenability for discrete groups”. In: J. Reine Angew. Math. 344 (1983), pp. 180–195. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1983.344.180.

[Joh72]

Barry Edward Johnson. Cohomology in Banach algebras. Memoirs of the American Mathematical Society, No. 127. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1972, pp. iii+96.

[JV84]

Pierre Julg and Alain Valette. “\(K\)-theoretic amenability for \(\SL _{2}(\mathbf {Q}_{p})\), and the action on the associated tree”. In: J. Funct. Anal. 58.2 (1984), pp. 194–215. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-1236(84)90039-9.

[NT]

Sergey Neshveyev and Lars Tuset. On second cohomology of duals of compact groups. arXiv: 1011.4569.

[Pat88]

Alan L. T. Paterson. Amenability. Vol. 29. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1988, pp. xx+452. isbn: 0-8218-1529-6. url: http://dx.doi.org/10.1090/surv/029.

[Run02]

Volker Runde. Lectures on amenability. Vol. 1774. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2002, pp. xiv+296. isbn: 3-540-42852-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/b82937.

[Ver04]

Roland Vergnioux. “\(K\)-amenability for amalgamated free products of amenable discrete quantum groups”. In: J. Funct. Anal. 212.1 (2004), pp. 206–221. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2003.07.017.