Amenability of Groups, Groupoids, and Related Structures

局所コンパクト群, 特に 離散群の amenability については, 同値な定義が数多くあり, “amenable” という言葉をある文献で初めて見つけ, その定義を調べようと思ったときには, どこから始めていいのか迷ってしまう。

まず Tao による解説とそのコメントを読んでみるのが良いかもしれない。

それによると, amenability が有用なのは, その群に関し “asymptotic averages” を取ることができるからのようである。例えば, amenable group が compact な空間に作用していたら, その空間の上に invariant probability measure が定義できる, など。Tao によると, その起源は Banach-Tarski の paradox らしい。それについての解説も Tao のblog にある。

本としては, Paterson の [Pat88] がある。Runde の lecture note [Run02] もある。

• 局所コンパクト群の amenability
• 離散群の amenability

Amenability は, 群の作用や 力学系と関係深いので, groupoid にも自然に拡張される。Amenable groupoid についての本 [AR00] もある。

• amenable groupoid

局所コンパクト群の amenability を Hochschild cohomology を用いて特徴づけたのは, B.E. Johnson [Joh72] である。 それにより amenability が Banach algebra へ拡張された。

• first Hochschild cohomology の vanishing による amenability の特徴づけ
• amenable Banach algebra

他にも, 次のようなものに対し amenability が考えられている。

• monoidal \(C^{*}\)-category [NT11]
• locally compact quantum group [Bra17]
• 局所コンパクト群の位相空間への continuous partial action [Ami]

群に対しては, group \(C^*\)-algebra が定義できるが, その\(K\)-theory を用いて Cuntz [Cun83] が \(K\)-amenability を定義している。

• \(K\)-amenability

その定義は, 局所コンパクト群に [JV84] で, そして locally compact quantum group に [Ver04] で拡張されている。

Amenability の一般化としては, Yu の property A [Yu00] もある。

• property A

関連した概念として Haagerup property がある。 Cherix らの本 [Che+01] がある。 Haagerup property を持つ群を a-T-menable group という。

• Haagerup property
• a-T-menable group

Locally compact quantum group へは Brannan [Bra12] により拡張されている。

von Neumann algebra に対しては, Choda [Cho83] が Haagerup approximation property を定義している。

• Haagerup approximation property

Choda の定義は finite tracial von Neumann algebra に対するものだったが, その後一般の von Neumann algebra へ Caspers と Skalski [CS15b; CS15a], そして Okayasu と Tomatsu [OT15; OT16] より拡張されている。 彼等は, 2つの定義が同値であることを共著 [Cas+14] で示している。

Locally compact quantum group の Haagerup property との関係については, Okayasu, Ozawa, Tomatsu の [OOT17] で調べられている。

References

[Ami]

Massoud Amini. Amenable partial actions. arXiv: 2211.04223.

[AR00]

C. Anantharaman-Delaroche and J. Renault. Amenable groupoids. Vol. 36. Monographies de L’Enseignement Mathématique [Monographs of L’Enseignement Mathématique]. With a foreword by Georges Skandalis and Appendix B by E. Germain. Geneva: L’Enseignement Mathématique, 2000, p. 196. isbn: 2-940264-01-5.

[Bra12]

Michael Brannan. “Approximation properties for free orthogonal and free unitary quantum groups”. In: J. Reine Angew. Math. 672 (2012), pp. 223–251. arXiv: 1103.0264. url: https://doi.org/10.1515/crelle.2011.166.

[Bra17]

Michael Brannan. “Approximation properties for locally compact quantum groups”. In: Topological quantum groups. Vol. 111. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2017, pp. 185–232. isbn: 978-83-86806-35-5. arXiv: 1605.01770.

[Cas+14]

Martijn Caspers, Rui Okayasu, Adam Skalski, and Reiji Tomatsu. “Generalisations of the Haagerup approximation property to arbitrary von Neumann algebras”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 352.6 (2014), pp. 507–510. arXiv: 1404.2716. url: https://doi.org/10.1016/j.crma.2014.04.003.

[Che+01]

Pierre-Alain Cherix, Michael Cowling, Paul Jolissaint, Pierre Julg, and Alain Valette. Groups with the Haagerup property. Vol. 197. Progress in Mathematics. Gromov’s a-T-menability. Birkhäuser Verlag, Basel, 2001, pp. viii+126. isbn: 3-7643-6598-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-8237-8.

[Cho83]

Marie Choda. “Group factors of the Haagerup type”. In: Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 59.5 (1983), pp. 174–177. url: http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195515589.

[CS15a]

Martijn Caspers and Adam Skalski. “The Haagerup approximation property for von Neumann algebras via quantum Markov semigroups and Dirichlet forms”. In: Comm. Math. Phys. 336.3 (2015), pp. 1637–1664. arXiv: 1404.6214. url: https://doi.org/10.1007/s00220-015-2302-3.

[CS15b]

Martijn Caspers and Adam Skalski. “The Haagerup property for arbitrary von Neumann algebras”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 19 (2015), pp. 9857–9887. arXiv: 1312.1491. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnu252.

[Cun83]

Joachim Cuntz. “\(K\)-theoretic amenability for discrete groups”. In: J. Reine Angew. Math. 344 (1983), pp. 180–195. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.1983.344.180.

[Joh72]

Barry Edward Johnson. Cohomology in Banach algebras. Memoirs of the American Mathematical Society, No. 127. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1972, pp. iii+96.

[JV84]

Pierre Julg and Alain Valette. “\(K\)-theoretic amenability for \(\SL _{2}(\mathbf {Q}_{p})\), and the action on the associated tree”. In: J. Funct. Anal. 58.2 (1984), pp. 194–215. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-1236(84)90039-9.

[NT11]

Sergey Neshveyev and Lars Tuset. “On second cohomology of duals of compact groups”. In: Internat. J. Math. 22.9 (2011), pp. 1231–1260. arXiv: 1011.4569. url: https://doi.org/10.1142/S0129167X11007239.

[OOT17]

Rui Okayasu, Narutaka Ozawa, and Reiji Tomatsu. “Haagerup approximation property via bimodules”. In: Math. Scand. 121.1 (2017), pp. 75–91. arXiv: 1501.06293. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-25970.

[OT15]

Rui Okayasu and Reiji Tomatsu. “Haagerup approximation property for arbitrary von Neumann algebras”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 51.3 (2015), pp. 567–603. arXiv: 1312.1033. url: https://doi.org/10.4171/PRIMS/165.

[OT16]

Rui Okayasu and Reiji Tomatsu. “Haagerup approximation property and positive cones associated with a von Neumann algebra”. In: J. Operator Theory 75.2 (2016), pp. 259–288. arXiv: 1403.3971. url: https://doi.org/10.7900/jot.2015feb24.2058.

[Pat88]

Alan L. T. Paterson. Amenability. Vol. 29. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1988, pp. xx+452. isbn: 0-8218-1529-6. url: http://dx.doi.org/10.1090/surv/029.

[Run02]

Volker Runde. Lectures on amenability. Vol. 1774. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2002, pp. xiv+296. isbn: 3-540-42852-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/b82937.

[Ver04]

Roland Vergnioux. “\(K\)-amenability for amalgamated free products of amenable discrete quantum groups”. In: J. Funct. Anal. 212.1 (2004), pp. 206–221. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2003.07.017.

[Yu00]

Guoliang Yu. “The coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space”. In: Invent. Math. 139.1 (2000), pp. 201–240. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002229900032.