Locally Compact Quatum Groups and Related Topics

\(C^{*}\)-algebra などの operator algebra の道具を用いて compact 群や locally compact 群の quantum 版を考えることができる。その歴史については, Kustermans と Vaes の [KV00] の Introduction や Kustermans らの lecture notes [Kus+] の Introduction を読むのが良いと思う。

• compact quantum group

Locally compact 群に対応するものを \(C^{*}\)-algebra で定義しようとするとき, 問題は単位元が無いことである。 つまり comultiplication の coassociativity をどのように記述するか, である。 Locally compact quantum group は, Kustermans と Vaes の一連の論文 [KV99; KV00; KV03] でその理論が構築されたが, その際使われているのは, multiplier algebra である。

• multiplier algebra

彼等は, [KV00] では \(C^{*}\)-algebra を用いていたが, [KV03] では von Neumann algebra を用いることにより, \(C^{*}\)-algebra の場合の density condition を省くことができることを発見している。

Locally compact quantum group については, Kustermans らの lecture notes [Kus+] が self-contained に書かれているので, まずこれを読むのが良いと思う。

拡張としては, Voigt [Voi08] による bornological quantum gorup がある。

• bornological quantum group

References

[Kus+]

Johan Kustermans, Stefaan Vaes, Leonid Vainerman, Alfons Van Daele, and Stanislaw Woronowicz. Locally compact quantum groups. url: https://perswww.kuleuven.be/~u0018768/artikels/lecture-notes.pdf.

[KV00]

Johan Kustermans and Stefaan Vaes. “Locally compact quantum groups”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 33.6 (2000), pp. 837–934. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(00)01055-7.

[KV03]

Johan Kustermans and Stefaan Vaes. “Locally compact quantum groups in the von Neumann algebraic setting”. In: Math. Scand. 92.1 (2003), pp. 68–92. arXiv: math/0005219. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-14394.

[KV99]

Johan Kustermans and Stefaan Vaes. “A simple definition for locally compact quantum groups”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 328.10 (1999), pp. 871–876. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0764-4442(99)80288-2.

[Voi08]

Christian Voigt. “Bornological quantum groups”. In: Pacific J. Math. 235.1 (2008), pp. 93–135. arXiv: math/0511195. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2008.235.93.