Compact Quantum Groups

数学の概念の quantum 版と言ったときには様々な意味があるが, 可換環を用いて記述されている構造を非可換環に拡張するという意味で使われることも多い。 例えば, Gel\('\)fand-Naimark duality で, compact Hausdorff 空間と対応するのは単位元を持つ可換な \(C^{*}\)-algebra なので, それを非可換な \(C^{*}\)-algebra にすることで compact quantum group が定義される。

局所 compact Hausdorff 空間に対応するのが, 単位元を持たない可換な \(C^{*}\)-algebra であることから, 局所 compact 群の quantum 版も定義できる。

• locally compact quantum group

Compact quantum group や locally compact quantum group の歴史については, 例えば, Kustermans と Vaes の [KV00] の Introduction や Kustermans らの lecture notes [Kus+] の Introduction に書かれている。

現在 compact quantum group と呼ばれているものは, Woronowicz [Wor98] が導入したものである。 Compact quantum group の部分群と quantum quotient space は Podles により [Pod95] で定義された。Wang は [Wan09] で simple compact quantum group の定義を提案している。

Wang [Wan95; Wan98] は, 直交群やユニタリ群が 代数群であることに着目し, その関数環の非可換版 \(O_{N}^+\), \(U_{N}^+\) を導入した。このようなものを \(O_{N}\) や \(U_{N}\) の free 版と呼ぶようである。 直交群には 対称群が含まれるが, 対称群の free 版もある。それについては, Banica の survey [Ban] がある。

• quantum permutation group

また, 対称群の直交群の free 版の中間にあるような compact quantum group を Banica と Speicher [BS09] は easy compact group と呼んで調べている。 このような “free quantum group” や liberation については Banica の [Ban22] がある。

• free quantum group
• easy quantum group

Compact quantum group に関する様々な構成を category theory の視点から考えているのは, Chirvasitu の [Chi15] である。例えば, compact quantum group の圏が finitely presentable であることなどを示している。

Semigroup 版の compact quantum semigroup の概念も, [MV98; Auk14] などで定義されている。

Compact quantum group の dual に対応するものとして discrete quantum group がある。Franz らによる compact quantum group と合せた Introduction [FSS17] がある。

• discrete quantum group

2つの compact quantum group から新しい compact quantum group を作る方法として, Meyer, Roy, Woronowicz [MRW14] の twisted tensor product がある。Quantum group の coaction を持つものに対する tensor product であるが。

彼等はそれを用い, [MRW16] で braided compact quantum group を定義している。

• braided compact quantum group

References

[Auk14]

Marat Aukhadiev. “Pentagon equation and compact quantum semigroups”. In: The varied landscape of operator theory. Vol. 17. Theta Ser. Adv. Math. Theta, Bucharest, 2014, pp. 47–55. arXiv: 1112.2909.

[Ban]

Teo Banica. Quantum permutation groups. arXiv: 2012.10975.

[Ban22]

Teo Banica. Introduction to quantum groups. Springer, Cham, [2022] ©2022, pp. x+425. isbn: 978-3-031-23816-1; 978-3-031-23817-8. arXiv: 1909.08152. url: https://doi.org/10.1007/978-3-031-23817-8.

[BS09]

Teodor Banica and Roland Speicher. “Liberation of orthogonal Lie groups”. In: Adv. Math. 222.4 (2009), pp. 1461–1501. arXiv: 0808.2628. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.06.009.

[Chi15]

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[FSS17]

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[Kus+]

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[KV00]

Johan Kustermans and Stefaan Vaes. “Locally compact quantum groups”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 33.6 (2000), pp. 837–934. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(00)01055-7.

[MRW14]

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[MRW16]

Ralf Meyer, Sutanu Roy, and Stanisław Lech Woronowicz. “Quantum group-twisted tensor products of \(\mathrm {C}^*\)-algebras. II”. In: J. Noncommut. Geom. 10.3 (2016), pp. 859–888. arXiv: 1501.04432. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/250.

[MV98]

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[Pod95]

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[Wan09]

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[Wan95]

Shuzhou Wang. “Free products of compact quantum groups”. In: Comm. Math. Phys. 167.3 (1995), pp. 671–692. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104272163.

[Wan98]

Shuzhou Wang. “Quantum symmetry groups of finite spaces”. In: Comm. Math. Phys. 195.1 (1998), pp. 195–211. arXiv: math/9807091. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050385.

[Wor98]

S. L. Woronowicz. “Compact quantum groups”. In: Symétries quantiques (Les Houches, 1995). Amsterdam: North-Holland, 1998, pp. 845–884.