Hopf-Cyclic Cohomology

Connes による cyclic (co)homology は, 非可換幾何学のために開発されたものであるが, その重要な用途の一つとしては, de Rham complex の類似を定義することにある。 Connes [Con85] により, smooth manifold \(M\) 上の smooth function の成す algebra の periodic cyclic homology が \(M\) の de Rham complex と同型であることが示されているからである。

その流れでは, 特性類は, 群の分類空間の cohomology ではなく, Hopf algebra のある種の cohomology の元の像として表すべきである。そのための Hopf algebra の cohomology として, Connes と Moscovici [CM98] が導入したのが Hopf-cyclic cohomology と Connes-Moscovici characteristic map と呼ばれる cyclic cohomology から Hopf-cyclic cohomology への写像である。

• Connes-Moscovici characteristic map

この辺の動機については, Khalkhaliと Rangipour の survey [KR06] の §4.1 などに書かれている。 Hopf-cyclic cohomology については, まずこの Khalkhali と Rangipour の survey を読むのがよいと思う。

Lie algebra をその universal enveloping algebra で Hopf algebra とみなしたときに, その periodic Hopf-cyclic cohomology が, 元の Lie algebra の Lie algebra homology と 同型であることは, Connes と Moscovici の [CM98] で, Proposition 7として述べられている。その relative 版は [CM] にある。

元々の Connes と Moscovici の定義では, Hopf algebra \(H\) に対し, \(H^{\otimes n}\) が cocyclic module になるような coface, codegeneracy, cyclic operator が定義されていたが, algebra の cyclic cohomology の定義を考えると, これは変である。 \(\{H^{\otimes (n+1)}\}_{n\ge 0}\) が cyclic moduleになるように定義し, 何らかの \(\Hom (-,M)\) を apply することで cocyclic module を作るべきである。

このように考えたのが, Khalkhali と Rangiour [KR03] の invariant cyclic homology であり, それを更に拡張し「正しい係数」として stable anti-Yetter-Drinfel\('\)d module を導入したのが, 彼等 と Hajac と Sommerhäuser の [Haj+04a; Haj+04b] である。

• stable anti-Yetter-Drinfel\('\)d module
• Hopf-cyclic (co)hohomology with coefficients

その係数は, 更に Khalkhali, Kucerovsky, Rangipour [HKR14] により拡張されている。

また, 以下のような Hopf algebra の一般化に対する拡張が得られている:

• bialgebra (Kaygun の [Kaya; Kayb; Kay05])
• bialgebra 上の module algebra (Kaygunの [Kay07])
• bivariant version (Kaygun と Khalkhali の [KK10])
• Böhm と Stefan [BŞ08] の monad を用いた一般化
• braided Hopf algebra (Khalkhali と Pourkiaの[KP10])
• Hopf algebroid (Kowalzig と Posthuma の [KP11])
• topological Hopf algebra (Rangiour と Sü̈tlü̈ の [RS19])
• Hopf-dihedral homology (Kaygun と Sütlü [KS])

また, このような構成は, \(k\)-module の圏のみならず, 一般の symmetric monoidal category での bimonoid object に対しても, そのまま適用できる。実際, Kaygun が [Kay08] でそのような試みを行なって いる。 Hassanzadeh, Khalkhali, Shapiro の試み [HKS] もある。

References

[BŞ08]

Gabriella Böhm and Dragoş Ştefan. “(Co)cyclic (co)homology of bialgebroids: an approach via (co)monads”. In: Comm. Math. Phys. 282.1 (2008), pp. 239–286. arXiv: 0705 . 3190. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0540-3.

[CM]

Alain Connes and Henri Moscovici. Background independent geometry and Hopf cyclic cohomology. arXiv: math/0505475.

[CM98]

A. Connes and H. Moscovici. “Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem”. In: Comm. Math. Phys. 198.1 (1998), pp. 199–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050477.

[Con85]

Alain Connes. “Noncommutative differential geometry”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 62 (1985), pp. 257–360. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__62__257_0.

[Haj+04a]

Piotr M. Hajac, Masoud Khalkhali, Bahram Rangipour, and Yorck Sommerhäuser. “Hopf-cyclic homology and cohomology with coefficients”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338.9 (2004), pp. 667–672. arXiv: math/0306288. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2003.11.036.

[Haj+04b]

Piotr M. Hajac, Masoud Khalkhali, Bahram Rangipour, and Yorck Sommerhäuser. “Stable anti-Yetter-Drinfeld modules”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338.8 (2004), pp. 587–590. arXiv: math/0405005. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2003.11.037.

[HKR14]

Mohammad Hassanzadeh, Dan Kucerovsky, and Bahram Rangipour. “Generalized coefficients for Hopf cyclic cohomology”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 10 (2014), Paper 093, 16. arXiv: 1408.5540. url: http://dx.doi.org/10.3842/SIGMA.2014.093.

[HKS]

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[Kaya]

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[Kayb]

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[Kay07]

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[Kay08]

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[KK10]

Atabey Kaygun and Masoud Khalkhali. “Bivariant Hopf cyclic cohomology”. In: Comm. Algebra 38.7 (2010), pp. 2513–2537. arXiv: math/0606341. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870903417695.

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[KP11]

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[KR03]

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[KR06]

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[KS]

A. Kaygun and S. Sütlü. Hopf-dihedral (co)homology and \(L\)-theory. arXiv: 1511.08937.

[RS19]

Bahram Rangipour and Serkan Sütlü. “Topological Hopf algebras and their Hopf-cyclic cohomology”. In: Comm. Algebra 47.4 (2019), pp. 1490–1515. arXiv: 1504 . 06834. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1508581.