Braiding を持つもの達

Yang-Baxter 方程式や 低次元トポロジーでの不変量の構成などの影響で, 様々なものが “braiding” を持つようになっている。

代表的なのは braided monoidal category である。

• braided monoidal category
• \(1\)つの object から生成された free braided monoidal category とは, braid群の列 \(\{B_0,B_1,B_2,\ldots \}\) に他ならない。
• braided \(n\)-category [Bre98]
• braided quasi-Coxeter category [AT19]

基本的なのは monoidal category の object \(x\) と morphism \(c:x\otimes x\to x\otimes x\) で braid relation を持つものである。 集合の圏のときには, Yang-Baxter 方程式の set-theoretic solution のために, Etingof, Schedler, Soloviev [ESS99] により braided set という名前で導入された。 ベクトル空間の圏では braided vector space と呼ばれている。 一般の monoidal category では braided object と呼ぶべきだろう。

• braided set
• braided vector space

Etingof らは, より一般に写像 \(S:X\times X\to X\times X\) を持つ集合 \(X\) を考え, その structure group を定義し, その性質を調べている。 特に, \((X,S)\) が braided set であるための条件を structure group を用いて記述している。

• Etingof-Schedler-Soloviev structure group

Lebed は [Leb17] で, いくつかの object の集まりで braiding を持つものを braided system と定義し, 調べている。

• braided system

これ以外にも braided と名の付いたものや braid relation をみたすものには, 以下のようなものがある。

• braided monoid and comonoid [JR12]
• braided group
• braided groupoid
• braided Hopf algebra
• Nichols algebra あるいは Nichols-Woronowicz algebra
• braided \(C^*\)-quantum group [Roy23]
• braided symmmetric algebra と braided exterior algebra [BZ08]
• braided Lie algebra [GS09]
• braided \(L_{\infty }\)-algebra [Dim+21]
• triangulated category の exceptional collection の集合 [Bon89; GR87; Gor88]
• quandle や rack
• braided rack [HLV12]
• braided algebra [GS13]

Braided group とは, Majid [Maj93] により導入された用語で, linear braided monoidal category での Hopf algebra object (group object) のことである。Majid [Maj94] や Lyubashenko と Majid [LM94] による解説がある。

Hopf algebra の重要な例の一つとして group algebra があるが, braided Hopf algebra も群から作ることができる。ただし matched pair of groups という群の組からである。Andruskiewitsch と Natale の [AN03] など。

Triangulated category の exceptional collection の集合への braid群の作用などについては, Gorodentsev と Kuleshov の “Helix theory” [GK04] がよくまとまっている, と思う。

他には, braided differential algebra [GPS11] というものもある。

Lebed [Leb13] は, 様々な代数的構造の (co)homology を pre-braiding というもので表し, 更に pre-braiding を持つベクトル空間の (co)homology を定義している。もっとも, 最初にそのような (co)homology を考えたのは, Carter, Elhamdadi, Saito [CES04] である。

• braided (co)homology

References

[AN03]

Nicolás Andruskiewitsch and Sonia Natale. “Braided Hopf algebras arising from matched pairs of groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 182.2-3 (2003), pp. 119–149. arXiv: math/0209210. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(03)00017-3.

[AT19]

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[Bon89]

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[Bre98]

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[BZ08]

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[CES04]

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[Gor88]

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[GS13]

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[HLV12]

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[Leb17]

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[Maj94]

Shahn Majid. “Algebras and Hopf algebras in braided categories”. In: Advances in Hopf algebras (Chicago, IL, 1992). Vol. 158. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 1994, pp. 55–105. arXiv: q-alg/9509023.

[Roy23]

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