Group Algebras

群 \(G\) と可換環 \(k\) が与えられると, group algebra と呼ばれる Hopf algebra \(k[G]\) が得られる。 群の cohomology が \(\Ext _{k[G]}^{*}(k,M)\) で与えられることからも分かるように, group algebra は \(G\) に関する重要な情報を持っている。

これは compact Hausdorff 空間とその \(C^*\)-algebra, affine algebraic variety とその関数環, Lie 群とその Lie 環などの対応と同じである。

もちろんその構造は \(k\) に依るので, compact Hausdorff 空間の Gel\('\)fand-Naimark duality のように, \(G\) が 復元できるわけではない。 例えば, Dade [Dad71] は, 全ての体 \(k\) に対し \(k[G]\cong k[H]\) で あるが同型ではない有限群 \(G\) と \(H\) を構成している。

\(k=\Z \) の場合なら group algebra から群が決定されるのではないか, と思うかもしれないが, 残念ながら Hertweck による反例 [Her01] がある。Hertweck によると, integral group algebra が同型ならば群も同型か, という問題は, Higman の thesis で最初に提示された問題のようである。

標数 \(p\) の体上の group ring を考える際には, \(p\)-lower central series が重要である。Quillen [Qui68] は \(p\)-lower central series による filtration に associate した restricted Lie algebra の universal enveloping algebra と group ring の augmentation ideal による filtration に associate した graded algebra が同型であることを示している。

\(G\) が \(k\)-algebra \(A\) に作用するときは, 群の \(k\)-linear category への作用の特別な場合と考えると, Grothendieck construction を考え ることができる。これを skew group algebra と言ったりする。

• skew group algebra

変種としては, partial group algebra と呼ばれるもの [DEP00] もある。

• partial group algebra

References

[Dad71]

Everett C. Dade. “Deux groupes finis distincts ayant la même algèbre de groupe sur tout corps”. In: Math. Z. 119 (1971), pp. 345–348. url: https://doi.org/10.1007/BF01109886.

[DEP00]

Michael Dokuchaev, Ruy Exel, and Paolo Piccione. “Partial representations and partial group algebras”. In: J. Algebra 226.1 (2000), pp. 505–532. arXiv: math/9903129. url: https://doi.org/10.1006/jabr.1999.8204.

[Her01]

Martin Hertweck. “A counterexample to the isomorphism problem for integral group rings”. In: Ann. of Math. (2) 154.1 (2001), pp. 115–138. url: https://doi.org/10.2307/3062112.

[Qui68]

Daniel G. Quillen. “On the associated graded ring of a group ring”. In: J. Algebra 10 (1968), pp. 411–418. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(68)90069-0.