可換環 \(k\) に対し, \(k\)-module の成す symmetric monoidal category で enrich された category を \(k\)上の
linear category という。
まず, ホモロジー代数で使われる additive category や Abelian category の基礎として使われる。
Barry Mitchell の [Mit72] のタイトルにもあるように, \(k\)-linear category は “\(k\)-algebra
with several objects” とみなすことができる。つまり object が一つだけの \(k\)-linear category が
\(k\)-algebra である。当然, \(k\)-algebra に関する概念で \(k\)-linear category に一般化されているものも多いし, \(k\)-algebra
で成り立つ性質を一般化しようという試みもある。
もう一つの用途としては, ベクトル空間の高次版がある。 最初にこのアイデアを思いついたのは誰なのだろう。
Baez達なのだろうか。Brandenburg と Chirvasitu と Johnson-Freyd の [BCJ] では, linear dual
の定義も提案されている。
- 体上の linear category の linear dual
References
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[BCJ]
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Martin Brandenburg, Alexandru Chirvasitu,
and Theo Johnson-Freyd. Reflexivity and dualizability in categorified
linear algebra. arXiv: 1409.5934.
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[DSS19]
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Christopher L. Douglas, Christopher Schommer-Pries, and Noah
Snyder. “The balanced tensor product of module categories”. In:
Kyoto J. Math. 59.1 (2019), pp. 167–179. arXiv: 1406.4204. url:
https://doi.org/10.1215/21562261-2018-0006.
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[Mit72]
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Barry Mitchell. “Rings with several objects”. In: Advances in Math. 8
(1972), pp. 1–161. url:
http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(72)90002-3.
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[Yet09]
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D. N. Yetter. “On deformations of pasting diagrams”. In: Theory Appl.
Categ. 22 (2009), No. 2, 24–53. arXiv: 0709.3778.
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