高次の線形代数とは何だろう? すぐ思い付くのは次の二つである。
-
\(m\times n\) 行列に関する概念を高次元の行列 (\(n_1\times n_2\times \cdots \times n_k\)行列) に拡張すること
- 線形代数の categorification
前者については, 例えば Gel\('\)fand と Kapranov と Zelevinsky の本 [GKZ94] で扱われている。また Gnang の
[Gna] では, そのような行列は hypermatrix と呼ばれ [Hog14] の中の Lim の解説が参照されている。 自然な用途としては,
グラフと行列との関係を, hypergraph に拡張すること [CD12; Gna] がある。
後者については, 数理物理などとの関連 [Fre94] で90年代中頃から色々研究され始めている。 まずは \(2\)-vector space であるが,
その定義にはいろいろなものがある。よく参照されるのは, Kapranov と Voevodsky により [KV94] で定義されたものであるが,
その論文の中でさえ座標化 (coordinatization) の度合いによって何種類か定義がある。 Baez の \(2\)-Hilbert space
[Bae97] は, Doplicher と Roberts の reconstruction theorem を Gel\('\)fand-Naimark duality
の categorification と捉えてその一般化を証明している点は評価できるが, Gel\('\)fand-Naimark duality と
Doplicher-Roberts recontstruction theorem の両方を包含するものではない。Yetter の measurable
category の概念の方が解析的にちゃんとしていていいように思える。
この辺のことについては, Jeffrey Morton の blog にも書いてある。
- Kapranov-Voevodsky による\(2\)-vector space の \(2\)-category[KV94]
- Elguetaによる \(2\)-vector space の category [Elg07a; Elg07b; Elg08]
- Baez の有限次元 \(2\)-Hibert space [Bae97]
- Baez-Crans の internal category を使ったもの [BC04]
- Yetter によるmeasurable category [CY05; Yet05]
- Heunen の Hilbert category [Heu09]
Baez が [Bae97] の introduction に書いているように, 有限次元ベクトル空間の成す monoidal category
上の “module category” として定義するのも自然なように思う。Baez の定義は enriched category
を使ったものであるが。
Kapranov-Veovodsky の \(2\)-vector space については, Morton の [Mor11] に簡潔にまとめられている。
Kapranov-Voevodsky の \(2\)-vector space の欠点については, \(2\)-group の表現の観点から Barrett と
Mackaay [BM06] が述べている。
\(2\)-group の表現のためには, measurable category の方がよいようである。 Baez らの [Bae+12] で \(2\)-Lie
group の measurable category 上の表現について調べられている。
これら \(2\)-vector space についてまとめられたものとして, Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, Vicary の
[Bar+] の Appendix A がある
高次の vector space の応用としては, elliptic cohomology の幾何学的定義のために高次の vector
bundle を定義しようという試みや, extended topological quantum field theory [Mor]
などがある。
Hopkins の2006年10月24日の Göttingen での講演によると, topological field theory の視点からは,
vector space の categorification として modular tensor category を考えるのが良いらしい。
Guiraud と Hoffbeck と Malbos の [GHM19] では, higher rewritting system のために
higher vector space を用いることが考えられている。 彼等は, ベクトル空間の圏での internal (strict) \(n\)-category を
\(n\)-vector space と呼んでいる。
線形代数の別の高次化としては, Castillo と Diaz の homological matrix というもの [CD07]
もある。\(m\times n\)行列を\(m\)個の頂点から\(n\)個 の頂点への directed bipartite graph で張られる vector space と同一視し, その頂点の集合 \([m]\)
と \([n]\) を多様体 \(M\) と \(N\) に変えたものを考えようというのである。 頂点に対応するのは \(M\) と \(N\) の submanifold である。彼等の
homological quantum field theory の研究の過程で生れたもののようである。
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