Modular Tensor Category

Modular tensor category という概念がある。 Conformal field theory, \(3\)次元多様体の不変量, 量子群の表現, vertex operator algebra と mooonshine等, 興味深い現象に関係するものらしい。

Beliakova, Blanchet, Contreras [BBC17] によると, Turaev により [Tur94] で Reshetikhin-Turaev-Witten を formulate するために導入された。 その後, Lyubashenko [Lyu95a; Lyu95d; Lyu95b; KL01] により semi-simplicity の条件が外されている。

解説としては, Rowell の [Row06] が簡潔で分かりやすい。 基本的な文献としては, Turaev の本 [Tur94] と Bakalov-Kirillov の本 [BK01] が挙げられるだろう。 Müger の [Müg] や Walker の [Wal91] も有用である。

例としては, 量子群の root of unity における表現の成す圏が典型的なものらしい。このように, modular tensor category は, 何らかの表現を調べる際によく現われる。 Schweigert と Fuchs [SF12] では, 次のようなものが挙げられている。

• ある種の Hopf algebra (quantum group) の表現の圏 [NTV03]
• ある種の von Neumann algebra の net の local sector の圏 [KLM01]
• ある種の vertex algebras の表現の圏 [Hua05]

Lyubashenko [Lyu95c] によると conformal field theory との関連は, Moore と Seiberg [MS89] による。

Modular tensor category からは, mapping class group の表現の tower ができる。Bantay が, その列について [Ban04]で調べている。

Modular tensor category と 3次元の extended TQFT (1次元から3次元までのもの) の対応については, Bartlett, Douglas, Schommer-Pries, Vicary の [Bar+] で調べられている。 その際に使 われている extended TQFT の値域は, \(k\)-linear category の成す symmetric monoidal bicategory である。

Modular tensor category を “群の作用で割る” ことを考えたのが, Alexander Kirillov Jr. の [Kir02; Jr] である。 ベクトル空間の圏の場合は, Drinfeld double の表現の圏になる。Kirillov は, これは, ホモトピー論的な商空間に関する等式 \[ \{\ast \}_{hG} = BG \] の categorification と考えているようである。 Kirillov は, その後 \(G\)-equivariant modular tensor category という概念を [Kir] で考えている。

• \(G\)-equivariant modular tensor category

そのような equivariant modular tensor category の元になっている Hopf algebra として, Maier と Nikolaus と Schweigert [MNS] は, Hopf algebra への weak \(G\)-action を考えている。

References

[Ban04]

P. Bantay. “Mapping class group representations and conformal field theory”. In: Functional analysis VIII. Vol. 47. Various Publ. Ser. (Aarhus). Aarhus: Aarhus Univ., 2004, pp. 27–34. arXiv: math/0501443.

[Bar+]

Bruce Bartlett, Christopher L. Douglas, Christopher J. Schommer-Pries, and Jamie Vicary. Modular categories as representations of the 3-dimensional bordism 2-category. arXiv: 1509.06811.

[BBC17]

Anna Beliakova, Christian Blanchet, and Eva Contreras. “Spin modular categories”. In: Quantum Topol. 8.3 (2017), pp. 459–504. arXiv: 1411.4232. url: https://doi.org/10.4171/QT/95.

[BK01]

Bojko Bakalov and Alexander Kirillov Jr. Lectures on tensor categories and modular functors. Vol. 21. University Lecture Series. Providence, RI: American Mathematical Society, 2001, p. x 221. isbn: 0-8218-2686-7.

[Hua05]

Yi-Zhi Huang. “Vertex operator algebras, the Verlinde conjecture, and modular tensor categories”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102.15 (2005), 5352–5356 (electronic). arXiv: math/0412261. url: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0409901102.

[Jr]

Alexander Kirillov Jr. Modular categories and orbifold models II. arXiv: math/0110221.

[Kir]

Alexander Kirillov Jr. On \(G\)–equivariant modular categories. arXiv: math/0401119.

[Kir02]

Alexander Kirillov Jr. “Modular categories and orbifold models”. In: Comm. Math. Phys. 229.2 (2002), pp. 309–335. arXiv: math/0104242. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200200650.

[KL01]

Thomas Kerler and Volodymyr V. Lyubashenko. Non-semisimple topological quantum field theories for 3-manifolds with corners. Vol. 1765. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 2001, pp. vi+379. isbn: 3-540-42416-4.

[KLM01]

Yasuyuki Kawahigashi, Roberto Longo, and Michael Müger. “Multi-interval subfactors and modularity of representations in conformal field theory”. In: Comm. Math. Phys. 219.3 (2001), pp. 631–669. arXiv: math/9903104. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00005565.

[Lyu95a]

V. Lyubashenko. “Modular transformations for tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 98.3 (1995), pp. 279–327. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)00045-K.

[Lyu95b]

Volodimir Lyubashenko. “Modular properties of ribbon abelian categories”. In: Proceedings of the 2nd Gauss Symposium. Conference A: Mathematics and Theoretical Physics (Munich, 1993). Sympos. Gaussiana. Berlin: de Gruyter, 1995, pp. 529–579. arXiv: hep-th/9405168.

[Lyu95c]

Volodimir Lyubashenko. “Tangles and Hopf algebras in braided categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 98.3 (1995), pp. 245–278. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(95)00044-W.

[Lyu95d]

Volodymyr V. Lyubashenko. “Invariants of \(3\)-manifolds and projective representations of mapping class groups via quantum groups at roots of unity”. In: Comm. Math. Phys. 172.3 (1995), pp. 467–516. arXiv: hep-th/9405167. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104274312.

[MNS]

Jennifer Maier, Thomas Nikolaus, and Christoph Schweigert. Equivariant Modular Categories via Dijkgraaf-Witten Theory. arXiv: 1103.2963.

[MS89]

Gregory Moore and Nathan Seiberg. “Classical and quantum conformal field theory”. In: Comm. Math. Phys. 123.2 (1989), pp. 177–254. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178762.

[Müg]

Michael Müger. Modular Categories. arXiv: 1201.6593.

[NTV03]

Dmitri Nikshych, Vladimir Turaev, and Leonid Vainerman. “Invariants of knots and 3-manifolds from quantum groupoids”. In: Proceedings of the Pacific Institute for the Mathematical Sciences Workshop “Invariants of Three-Manifolds” (Calgary, AB, 1999). Vol. 127. 1-2. 2003, pp. 91–123. arXiv: math/0006078. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(02)00055-X.

[Row06]

Eric C. Rowell. “From quantum groups to unitary modular tensor categories”. In: Representations of algebraic groups, quantum groups, and Lie algebras. Vol. 413. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 215–230. arXiv: math/0503226. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/413/07848.

[SF12]

Christoph Schweigert and Jürgen Fuchs. “Hopf algebras and Frobenius algebras in finite tensor categories”. In: Highlights in Lie algebraic methods. Vol. 295. Progr. Math. Birkhäuser/Springer, New York, 2012, pp. 189–203. arXiv: 1003.2578. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8274-3_8.

[Tur94]

V. G. Turaev. Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Vol. 18. de Gruyter Studies in Mathematics. Berlin: Walter de Gruyter & Co., 1994, pp. x+588. isbn: 3-11-013704-6.

[Wal91]

Kevin Walker. On Witten’s \(3\)-manifold invariants. Preliminary version #2. 1991. url: https://canyon23.net/math/1991TQFTNotes.pdf.