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Monster の性質のうち, もっとも驚くべきことは moonshine と呼ばれる modular form との関係だろう。Conway
と Norton [CN79]により発見された。元々の切っ掛けは, McKay の発見らしいが。解説は色々ある。以下に目についたものを挙げる。
Web 上では, Le Bruyn が blog で関連した話題について書いてくれている。 このpostにあるように, それを PDF
にまとめたものが download できるようになった。Blog post をそのまま PDF にしてあるので link が豊富で,
結構便利である。
Conway と Norton は, monster の graded representation で, その graded character が
genus \(0\) modular function になっているものが存在することを予想したが, Frenkel と Lepowsky と Meurman
の構成した vertex operator algebra [FLM88] がその表現であることを証明したのは, Borcherds [Bor92]
である。
当然, moonshine 予想の一般化も考えられている。 [Fon87] に収録されている Norton の “generalized
moonshine” や Carnahan の [Car10; Car12] など。
Modular form と言えば楕円コホモロジーであるが, 楕円コホモロジーとの関連については Ganter の [Gan09]
がある。
Mathieu 群に対する moonshineは, Eguchi, Ooguri, Tachikawa [EOT11] により発見されたらしい。
Creutzig と Höhn の [CH14] によると, その後 McKay-Thompson seriesが [Che10; CD14;
EH11; GHV10b; GHV10a] などによって提案されている。
Gaberdiel, Persson, Ronellenfitsch, Volpato [Gab+13] は, Mathieu moonshine の
Norton 流の generalized moonshine への拡張を考えている。
Mathieu moonshine を含むものとして, Cheng と Duncan と Harvey [CDH14] の umbral
moonshine がある。 Quanta Magazine に記事があるので, まずはそれを読むのが良いと思う。
MathOverflow の質問がきっかけで発見されたものもある。
その MathOverflow での回答は, Rayhaun により書かれているが, 彼は Harvey と共に [HR16] で
Thompson moonshine を調べている。
References
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1032.
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