Modular Forms

楕円コホモロジーの登場以来, 代数的トポロジーを勉強するためにも modular form と 楕円曲線は「一般教養」となった。 楕円コホモロジーとも関係あるが, 興味深い現象として monstrous moonshine がある。

この MathOverflow の質問は, modular form の起源について聞いたものであるが, KConrad による回答によると 1800年前後に Gauss の仕事の中で登場したのが最初の例のようである。

まずは, 複素平面の上半平面への\(\SL _2(\R )\)の作用 (一次分数変換) が必要になる。

• 一次分数変換

そして上半平面上の関数で, この作用に関し“良い性質”を持つものを考えるわけである。

• modular form
• 楕円曲線

Modular form や楕円曲線に関しては, 数多くの文献がある。 簡潔に述べてあるものとして, かつて Rochester で学生だったときに, Ravenel 先生から Serre の本 [Ser73a] を勧められたことがある。確かに手っ取り早く理解するにはいいかもしれない。

他に目にしたものを挙げると, 次のようになる:

• Roy の歴史的な視点からの本 [Roy17]
• Deligne の [BK75] の論文
• Henri Cohen の lecture notes [Coh19]
• Diamond と Shurman の [DS05]
• Milne の course note [Mil17]
• 4人による lecture notes [Bru+08]
• Apostol の本 [Apo90]
• Hida の本 [Hid93]
• Iwaniec の本 [Iwa97]
• Knapp の本 [Kna92]
• Knopp の本 [Kno70]
• Lang の本 [Lan95]
• Miyake の本 [Miy06]
• Ogg の本 [Ogg69]
• Koblitz の本 [Kob93]
• Rankin の本 [Ran77]
• Schoeneberg の本 [Sch74]
• Shimura の本 [Shi94]
• Romik の本 [Rom23] の Chapter 5

4人による lecture notes [Bru+08] の中の Zagier による解説では, 応用として sums of squares の問題が取り上げられている。

基本的な例としては, Eisenstein series や Dedekind の \(\eta \)-function を挙げるべきだろうか。

一般化や変種も色々考えられている。

• automorphic form
• mock modular form
• quantum modular form [Zag10]
• quasimodular form [Zag08]
• vector-valued modular form [BG07]
• semimodular form [JS21]
• \(p\)-adic modular form [Kat73; Ser73b; Ser75]
• topological modular forms

References

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