Leibniz algebra と関連した概念

Leibniz algebra とは, Lie algebra の定義の内, antisymmetry \([x,y]=-[y,x]\) を外したものである。ただし, そうすると Jacobi identity が右と左の2種類できるので, 正確には left Leibniz algebra と right Leibniz algebra を区別しなければならない。

Loday が [Lod93] で導入したのかと思っていたが, Lolesnikov と Voronin の [KV13] によると, 既に1960年代に Bloh (Blokh) により [Blo65] で定義されていたようである。

Lie algebra に類似の代数的構造に対し, Lie 群に対応するものを探す問題を, 積分問題という。 Leibniz algebra に対しては, Lie rack や digroup という構造が, Kinyon [Kin07] により提案されている。

• Leibniz algebra の integration
• digroup
• Lie rack

残念ながら, Lie rack と Leibniz algebra の対応は不完全なものであり, Lie theory を展開するためには, まだまだ改良しなければならないようである。 Covez が thesis で調べている [Cov13] が, まだ local な対応しかわかっていない。Mostovoy が [Mos] で指摘しているように, Leibniz algebra が Lie algebra だったときに, Lie rack が Lie 群にならないのは, 素人が見ても最大の欠点である。

Leibniz algebra には, Lie algebra の (co)homology に対応する Leibniz (co)homology が定義される。

• Leibniz (co)homology

Loday [Lod98a] と Cuvier [Cuv94] により, Hochschild homology との関係が指摘されている。これは, Loday と Quillen と Tsygan による Lie algebra homology と cyclic homology の関係の類似である。 Loday は [Lod03] の中で, 群の homology の Leibniz 版が存在すると予想している。 Covez [Cov] が rack の cohomology がそれに近いものだということを指摘しているが, まだ Loday の期待していたものではないようである。

Leibniz algebra は, vertex operator algebra とも関係がある。 Kac は、 [Kac98] で associative algebra に係数を持つ formal Laurent series ring の quotient に Lie algebra の構造が入ることを示したが, 実は formal Laurent series ring そのものに Leibniz algebra の構造が定義され, それから誘導されたものが Kac の Lie bracket なのである。これについては Lodder の [Lod98b] の section 1 の最後に説明がある。

• conformal algebra [Kac98]

Lie algebra の Leibniz central extension について, [HPL08] で Hu と Pei と Liu が調べている。

Lie algebra と associative algebra の関係にあるのが, Leibniz algebra と associative dialgebra [Lod01] である。

• dialgebra

Lie \(2\)-algebra との関係は, Loday と Pirashvili の論文 [LP98] で implicit に述べられていることを, この \(n\)-Category Café の post が指摘している。

Leibniz algebra の一般化としては, strong homotopy version も考えられている。Ammar と Poncin の [AP10] や Uchino の [Uch11] など。

• strong homotopy Leibniz algebra

Leibniz algebra の Koszul dual は, Loday の [Lod95] で導入された。そこでは dual Leibniz algebra と呼ばれているが, その後の論文 [Lod01] では, 文字の並びを逆にして Zinbiel algebra と呼ばれている。Lemaire による命名らしい。

• Zinbiel algebra

Zhang と Zhang の [ZZ] によると, 同じものは Tortkara algebra, pre-commutative algebra [Kav99], chronological algebra [Kol16] などの名前で独立に調べられてきたようである。

Zhang は [Zha] で, Zinbiel \(2\)-algebra を導入している。

• Zinbiel \(2\)-algebra

“Zinbiel による論文” [Zin12] も出版されているが, どうやら Loday により書かれたもののようである。

Zinbiel algebra は, 積が \(xy=x\prec y+y\prec x\) のように分解するが, このような algebra には, dendriform algebra などがある。 この種の algebra は他にも何種類かあり, Loday algebra と呼ばれているようである。

• Loday algebra

Vertex algebra の一般化として vertex Leibniz algebra という概念を考えている人 [LTW13] もいる。Vertex algebra と vertex Leibniz algebra の関係は, Lie algebra と Leibniz algebra の関係の類似になっているようである。

• vertex Leibniz algebra

Casas と Loday と Pirashvili [CLP02] により導入された, Leibniz \(n\)-algebras というものもある。 Casas [Cas03] がその homology を調べている。

• Leibniz \(n\)-algebra

Leibniz algebra の horizontal categorification (many-objectification) として Leibniz algebroid もある。Leibniz \(n\)-algebroid というものもある。

• Leibniz algebroid
• Leibniz \(n\)-algebroid

Jubin と Poncin と Uchino の [JPU] に挙げられている文献を参照のこと。

Laurent-Gengoux と Wagemann [LW16] は, Lie groupoid と Lie algebroid の関係で Leibniz algebroid に対応するものとして Lie rackoid という構造を導入し調べている。

• Lie rackoid

References

[AP10]

Mourad Ammar and Norbert Poncin. “Coalgebraic approach to the Loday infinity category, stem differential for \(2n\)-ary graded and homotopy algebras”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 60.1 (2010), pp. 355–387. arXiv: 0809.4328. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2010__60_1_355_0.

[Blo65]

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[Cas03]

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[CLP02]

J. M. Casas, J.-L. Loday, and T. Pirashvili. “Leibniz \(n\)-algebras”. In: Forum Math. 14.2 (2002), pp. 189–207. url: http://dx.doi.org/10.1515/form.2002.009.

[Cov]

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[Cov13]

Simon Covez. “The local integration of Leibniz algebras”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 63.1 (2013), pp. 1–35. arXiv: 1011.4112. url: https://doi.org/10.5802/aif.2754.

[Cuv94]

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[HPL08]

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[Kac98]

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[Kol16]

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[KV13]

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[Lod01]

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[Lod03]

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[Lod93]

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[Lod95]

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[Lod98a]

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[Lod98b]

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[LP98]

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[Zin12]

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[ZZ]

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