Lie algebroid

Lie algebroid は, Lie algebra と多様体の tangent bundle の共通の一般化となっているものである。 Pradines [Pra67] により導入された。

Lie algebroid の一つの定義は, 多様体上の vector bundle によるものである。 基本的な例として Lie groupoid の tangent Lie algebroid がある。この方向については, Mackenzie の本 [Mac87; Mac05] がある。

• 多様体上の vector bundle と tangent bundle への anchor map を用 いた Lie algebroid の定義
• Lie groupoid の tangent Lie algebroid

このような Lie algebroid に対しては, fibration や ホモトピー群も考えられている。Brahic と Zhu の [BZ11] である。

Serre-Swan duality により, vector bundle は, 底空間の関数環上の有限生成 projective module と考えることができるから, 代数的には Lie algebra であり, ある環上の module になっているものを考えるのが自然である。例えば, Calaque と Van den Bergh の[CV10] に定義がある。

• 代数的な Lie algebroid の定義

Crainic とMoerdijk の [CM08] で, その deformation theory が調べられている。 Kontsevich の formality theorem の類似については, Calaque の [Cal05] で考えられている。また Grabowski と Marmo と Michor が [GMM06] で Lie algebroid の homology theory と modular class について調べている。

Lie 群 から Lie algebra を作る操作の逆の操作を Lie algebra の一般化に対し拡張する問題は, 積分問題と呼ばれている。

Lie algebroid の場合は, Lie groupoid として積分できそうであるが, それについては, Crainic と Fernandes [CF03] により obstruction が発見されている。 そして, Tseng と Zhu [TZ06] により stakcy Lie groupoid (Weinstein groupoid) を用いて解決されている。

• Lie algebra の一般化に対する積分問題

また, Costello の \(L_{\infty }\)-space を使うアプローチ [GG20] もある。

一般化として, \(L_{\infty }\)版も考えられている。 Bruce の [Bru11] など。

• \(L_{\infty }\)-algebroid

Calaque, Campos, Nuiten [CCN] によると, curved Lie algebra としても記述できるようである。彼等は, Lie algebroid の \((\infty ,1)\)-category とある種の curved Lie algebra の \((\infty ,1)\)-category が同値であることを示している。

References

[Bru11]

Andrew James Bruce. “From \(L_\infty \)-algebroids to higher Schouten/Poisson structures”. In: Rep. Math. Phys. 67.2 (2011), pp. 157–177. arXiv: 1007.1389. url: https://doi.org/10.1016/S0034-4877(11)00010-3.

[BZ11]

Olivier Brahic and Chenchang Zhu. “Lie algebroid fibrations”. In: Adv. Math. 226.4 (2011), pp. 3105–3135. arXiv: 1001.4904. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.10.006.

[Cal05]

Damien Calaque. “Formality for Lie algebroids”. In: Comm. Math. Phys. 257.3 (2005), pp. 563–578. arXiv: math / 0404265. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-005-1350-5.

[CCN]

Damien Calaque, Ricardo Campos, and Joost Nuiten. Lie algebroids are curved Lie algebras. arXiv: 2103.10728.

[CF03]

Marius Crainic and Rui Loja Fernandes. “Integrability of Lie brackets”. In: Ann. of Math. (2) 157.2 (2003), pp. 575–620. arXiv: math/0105033. url: https://doi.org/10.4007/annals.2003.157.575.

[CM08]

Marius Crainic and Ieke Moerdijk. “Deformations of Lie brackets: cohomological aspects”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 10.4 (2008), pp. 1037–1059. arXiv: math / 0403434. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/139.

[CV10]

Damien Calaque and Michel Van den Bergh. “Hochschild cohomology and Atiyah classes”. In: Adv. Math. 224.5 (2010), pp. 1839–1889. arXiv: 0708.2725. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.012.

[GG20]

Ryan Grady and Owen Gwilliam. “Lie algebroids as \(L_\infty \) spaces”. In: J. Inst. Math. Jussieu 19.2 (2020), pp. 487–535. arXiv: 1604.00711. url: https://doi.org/10.1017/s1474748018000075.

[GMM06]

Janusz Grabowski, Giuseppe Marmo, and Peter W. Michor. “Homology and modular classes of Lie algebroids”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56.1 (2006), pp. 69–83. arXiv: math/0310072. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2006__56_1_69_0.

[Mac05]

Kirill C. H. Mackenzie. General theory of Lie groupoids and Lie algebroids. Vol. 213. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 2005, pp. xxxviii+501. isbn: 978-0-521-49928-3; 0-521-49928-3.

[Mac87]

K. Mackenzie. Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry. Vol. 124. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1987, pp. xvi+327. isbn: 0-521-34882-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511661839.

[Pra67]

Jean Pradines. “Théorie de Lie pour les groupoı̈des différentiables. Calcul différenetiel dans la catégorie des groupoı̈des infinitésimaux”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 264 (1967), A245–A248.

[TZ06]

Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu. “Integrating Lie algebroids via stacks”. In: Compos. Math. 142.1 (2006), pp. 251–270. arXiv: math/0405003. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X05001752.