Curved dg algebra や curved A∞-algebra

Dg algebra の \(d^2=0\) という条件を弱める方向にはいくつかあるが, curved dg algebra という構造もその一つである。Curvature という\(2\)次元の cocycle \(c\) があり, \(d^2(x)=[x,c]\) という条件をみたすものである。 Keller と Lowen と Nicolas の [KLN10] によると, Positselskii により [Pos93] で導入されたものらしい。 ただ, Nikolov と Zahariev [NZ13] によると, Positselskii より前に Getzler と Jones [GJ90] により, 現在 curved \(A_{\infty }\)-algebra と呼ばれているものが導入されているので, curved structure が登場したのは, それが最初だろう。Getzler と Jones は単に \(A_{\infty }\)-algebra と呼んでいるが。Keller [Kel01] は weak \(A_{\infty }\)-algebra と呼んでいる。Curved \(A_{\infty }\)-algebra という言葉は, Nicolas の [Nic08] で使われたのが最初のようである。

“Curvature” という言葉は, 微分幾何学的な motivation を想起させるが, Positselskii の motivation は “nonhomogeneous quadratic duality” を定式化することだったようである。もっとも, “remarkable example” として, 可微分多様体上の vector bundle の curvature が挙げられている。 Keller らによると, 他にも dg algebra の deformation からも現れる。

Block と Daenzer [BD10] は, “gerbe with connection” に対し de Rham complex や Dolbeault complex の類似として curved dg algebra を構成している。

Curved dg algebra 上の module を考えて, derived category を構成することもできる。 Nicolas の [Nic08] など。dg algebra の deformation でできた curved dg algebra に対しては, その derived category が元の dg algebra の deformation になっているかという問題が考えられるが, Keller と Lowen と Nicolas の [KLN10] によると, 一般にはダメなようである。

Jonathan Block [Blo10; Blo] は, curved dg algebra から dg category を構成することを考えている。 その object は cohesive module と呼ばれている。名前は coherent sheaf の成す derived category との関係から取られたようである。また quasi-coherent sheaf に対応する quasi-cohesive module も定義されている。

• curved dg algebra 上の cohesive module の成す dg category
• curved dg algebra 上の quasi-cohesive module

Ben-Bassat との共著 [BB13] では, その curved dg algebra から dg category を作る構成が, Cartesian diagram を homotopy Cartesian diagram に変換することを示している。

Curved \(A_{\infty }\)-algebra は, \(A_{\infty }\)-algebra の定義に \(m_{0}\) を追加したものなので, curved dg algebra より自然に登場する。 実際, Getzler と Jones [GJ90] は “curved” という言葉は使っていない。本格的に調べたのは, Nicolas [Nic08] が最初なのだろうか。 Nikolov と Zahariev [NZ13] によると, curved dg algebra とは独立に考えられたようである。

• curved \(A_{\infty }\)-algebra

ある条件の元であるが, curved \(A_{\infty }\)-algebra や curved \(A_{\infty }\)-coalgebra の bar construction や cobar construction について, Lyubashenko の [Lyu13] で扱われている。

Lyubashenko [Lyu17] は coalgebra 版を考えている。

• curved homotopy coalgebra

Lazarev と Schedler の [LS12] や Nikolov と Zahariev の [NZ13] では, curved \(L_{\infty }\)-algebra も定義されている。 もちろん, curved Lie algebra もある。

• curved Lie algebra
• curved \(L_{\infty }\)-algebra

Maunder [Mau] は, rational homotopy theory のモデルを構成するために curved Lie algebra を使っている。

このように operad 上の algebraの curved version があると, operad 自体の curved version を考える方が自然な気がしてくる。 実際, Lyubashenko の [Lyu] や Roca i Lucio の [Luc] で考えられている。

• curved operad
• curved cooperad

Drummond-Cole と Bellier-Millés [BD] は curved operad を用いて curved algebra の homotopy theory を考えることを提案している。

dg category の curved 版もある。Polishchuk と Positselski の [PP12] など。

• curved dg category

\(A_{\infty }\)-category の curved 版は Armstrong と Clarke の [AC] で考えられている。

• curved \(A_{\infty }\)-category

References

[AC]

Jeffrey Armstrong and Patrick Clarke. Curved \(A_{\infty }\)-categories: adjunction and homotopy. arXiv: 1506.03711.

[BB13]

Oren Ben-Bassat and Jonathan Block. “Milnor descent for cohesive dg-categories”. In: J. K-Theory 12.3 (2013), pp. 433–459. arXiv: 1201.6118. url: https://doi.org/10.1017/is013007003jkt236.

[BD]

Joan Bellier-Millès and Gabriel C. Drummond-Cole. Homotopy theory of curved operads and curved algebras. arXiv: 2007.03004.

[BD10]

Jonathan Block and Calder Daenzer. “Mukai duality for gerbes with connection”. In: J. Reine Angew. Math. 639 (2010), pp. 131–171. arXiv: 0803.1529. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2010.014.

[Blo]

Jonathan Block. Duality and equivalence of module categories in noncommutative geometry II: Mukai duality for holomorphic noncommutative tori. arXiv: math/0604296.

[Blo10]

Jonathan Block. “Duality and equivalence of module categories in noncommutative geometry”. In: A celebration of the mathematical legacy of Raoul Bott. Vol. 50. CRM Proc. Lecture Notes. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, pp. 311–339. arXiv: math / 0509284. url: https://doi.org/10.1090/crmp/050/24.

[GJ90]

Ezra Getzler and John D. S. Jones. “\(A_{\infty }\)-algebras and the cyclic bar complex”. In: Illinois J. Math. 34.2 (1990), pp. 256–283. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255988267.

[Kel01]

Bernhard Keller. “Introduction to \(A\)-infinity algebras and modules”. In: Homology Homotopy Appl. 3.1 (2001), 1–35 (electronic). arXiv: math/9910179.

[KLN10]

Bernhard Keller, Wendy Lowen, and Pedro Nicolás. “On the (non)vanishing of some “derived” categories of curved dg algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.7 (2010), pp. 1271–1284. arXiv: 0905. 3845. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.10.011.

[LS12]

Andrey Lazarev and Travis Schedler. “Curved infinity-algebras and their characteristic classes”. In: J. Topol. 5.3 (2012), pp. 503–528. arXiv: 1009.6203. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jts011.

[Luc]

Victor Roca i Lucio. Curved operadic calculus. arXiv: 2201.07155.

[Lyu]

Volodymyr Lyubashenko. Curved cooperads and homotopy unital A-infty-algebras. arXiv: 1403.3644.

[Lyu13]

V. V. Lyubashenko. “Bar and cobar constructions for curved algebras and coalgebras”. In: Mat. Stud. 40.2 (2013), pp. 115–131. arXiv: 1311.7681.

[Lyu17]

Volodymyr Lyubashenko. “Curved homotopy coalgebras”. In: Appl. Categ. Structures 25.6 (2017), pp. 991–1036. arXiv: 1402.0408. url: https://doi.org/10.1007/s10485-016-9440-4.

[Mau]

James Maunder. Unbased rational homotopy theory: a Lie algebra approach. arXiv: 1511.07669.

[Nic08]

Pedro Nicolás. “The bar derived category of a curved dg algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.12 (2008), pp. 2633–2659. arXiv: math/ 0702449. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.04.001.

[NZ13]

Nikolay M. Nikolov and Svetoslav Zahariev. “Curved \(A_\infty \)-algebras and Chern classes”. In: Pure Appl. Math. Q. 9.2 (2013), pp. 333–369. arXiv: 1101.2080. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2013.v9.n2.a3.

[Pos93]

L. E. Positsel\('\)skiı̆. “Nonhomogeneous quadratic duality and curvature”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 27.3 (1993), pp. 57–66, 96. arXiv: 1411.1982. url: https://doi.org/10.1007/BF01087537.

[PP12]

Alexander Polishchuk and Leonid Positselski. “Hochschild (co)homology of the second kind I”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.10 (2012), pp. 5311–5368. arXiv: 1010.0982. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05667-4.