Differential Graded Algebra

古典的なコホモロジーは, 可換環に係数を持つ時は積が定義され, graded algebra になる。 コホモロジーを取る前の cochain complexで考えると, differential graded algebra (dg algebra) というものになる。 コホモロジーを取ることで失われる情報を扱うためには, dg algebra のレベルで考えた方がよい。実際, それを実現した理論として rational homotopy theory がある。

Rational homotopy theory でも使われる重要な dg algebra のクラスとして, semifree dg algebra がある。

• semifree dg algebra

Brzeziński [Brz07] によると, semifree dg algebra に関する remarkable result として Roiter の定理 [Roj80] がある。 それによると, semifree dg algebra と grouplike element を持つ coring の間に一対一対応がある。

別の方向での代数的トポロジーとの関連として, 位相空間の dg algebra の derived category を考えることもできる。 Jørgensen が [Jor; Jør06]で調べている。 [Jør08] に Jørgensen自身 による review がある。

• 位相空間の cochain algebra 上の small differential graded module のなす derived category が Auslander-Reiten quiver を持つことと, その空間が Poincaré duality space であることは同値である。

Jørgensen は, 球面の Auslander-Reiten quiver を調べ, 球面の次元を区別できる不変量であることを示しているが, K. Schmidt は thesis [Sch] で一般の dg algebra の Auslander-Reiten quiver を調べている。Frankild と Jørgensen の [FJ08] もその系統の仕事であり, 最後のsectionに代数的トポロジーへの応用が書いてある。

Dugger と Shipley は, dg algebra に対して, functorial に ring_spectrum を対応させ, dg algebra の圏と ring spectrumの圏を比較する, ということを [DS07] で行なっている。対応する spectrum を dg algebra の Eilenberg-Mac Lane ring spectrum と呼んでいる。それを用いて, dg algebra のtopological equivalence を定義している。

• differential graded algebra の topological equivalence

その元になっているのは, Shipley の [Shi07]で得られている次の結果のようである。 (ただしその論文の Theorem 1.2 には誤りがあり, [Shi] で少し弱い statement に置 き換えられている。)

• \(R\) 上の dg algebra の model category と Eilenberg-Mac Lane spectrum \(HR\) 上の algebra の model category との間にジグザグの Quillen同値の列が存在する。

この対応は model category の間の対応なので, commutative ring spectrum に対応するものは, 可換な dg algebra ではなく, up to homotopy で可換な dg algebra になる。その ようなものは, \(E_{\infty }\)-dg algebra と呼ばれている。 Bayindir [Bay18] が \(E_{\infty }\) dg algebra の間の \(E_{\infty }\) topological equivalence を定義し, 調べている。

• \(E_{\infty }\) differential graded algebra
• \(E_{\infty }\) differential graded algebra の間の \(E_{\infty }\) topological equivalence

dg algebra は, もちろん, 代数や代数幾何学でも用いられる。 有名(?)な事実としては, 「良い」scheme 上の coherent sheaf の bounded derived category は, ある dg algebra の derived categoryと同値になるというものがある。そのことから, ある種の dg algebra を代数幾何学的対象と考えようというのが Shklyarov の [Shk] である。 また, derived category の構成で homotopy category を取る前で止めて, dg category とみなす, というアイデアもある。

• dg category

Tabuada [Tab12] によると, この方向の起源は Bondal と Kapranov の仕事 [BK89; BK90] のようである。

dg category は dg algebra の “many-objectification” としても重要である。 例えば, 上記の Shipley による \(R\) 上の dg algebra の圏と \(HR\)-algebra の圏との間の Quillen同値には, Tabuada による“many-objectification” [Tab10] がある。

dg algebra の formality は, rational homotopy theory はもちろんであるが, それ以外の様々な分野で用いられる基本的な概念である。Kaledin が [Kal07] で不変量 (obstruction) を定義している。元の dg algebra のある deformation の\(2\)次のHochschild cohomology の元として定義している。その証明については, Lunts の [Lun10] を見るとよい。

その Lunts の論文にもあるように, dg algebra での議論を \(A_{\infty }\)-algebra に拡張して考えるのは自然であるし, その方がよい場合も多い。 例えば, Muro は[Mur16] で unitを持つ dg algebra と unit を持たない dg algebra を比較しているが, その際に \(A_{\infty }\)構造を用いている。

• \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-category

dg algebra は \(A_{\infty }\)-algebra とみなすことができるが, Granja と Hollander の [GH08] によると, Kadeishvili [Kad82] は, dg algebra \(A\) に対しその homology \(H_*(A)\) に \(A_{\infty }\)-algebra の構造を定義し, さらに \(A\) と \(H_*(A)\) が \(A_{\infty }\)-algebra として quasi-isomorphic になることを示した, らしい。Granja と Hollander は, この事実を \(H_*(A)\)-module の実現問題に応用している。

部分的にしか積が定義されないものを考えることもある。McClure [McC06] は, PL多様体 のP L chain complex は intersection pairing により, partial commutative dg algebra になることを示している。

• partial dg algebra

他にも chain complex の一般化である \(N\)-complex を用いた一般化もある。Angel と Díaz ら [AD07; ACD07] によるものと Kapranov [Kap] や Dubois-Violette ら [Dub96; DK96; Dub98] による \(1\) の\(N\)乗根を用いたものがある。

• \(N\)-dg algebra

微分を2回続けて \(0\) になる, という条件を弱めた一般化としては curved dg algebra というものもある。

• curved dg algebra

双対的に dg coalgebra の概念も考えられる。そして Eilenberg と Moore [EM64] の時代, いやそれ以前に Adams [Ada56] の時代から, dg coalgebra は代数的トポロジーで使われてきた。

• dg coalgebra

例えば, dg algebra \(A\) と dg coalgebra \(C\) と twisting cochain と呼ばれる写像 \(\tau :C\to A\) から dg algebra \(C\otimes _{\tau }A\) を構成する方法は, Ed Brown [Bro59] により twisted tensor product として導入された。

• twisted tensor product

最近 Anel と Joyal [AJ] が dg coalgebra と dg algebra の関係を考察し, その関係を Sweedler theory という名前で呼んでいる。

• Sweedler theory

References

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