Differential Graded Algebra

古典的な位相空間のコホモロジーは, 可換環に係数を持つ時は積が定義され, graded commutative algebra になる。 コホモロジーを取る前の cochain complexで考えると, differential graded commutative algebra というものになる。

• differential graded commutative algebra

以下, differential graded algebra を dg algebra と呼ぶことにする。 コホモロジーを取ることで失われる空間の情報を拾うために, dg algebra のレベルで考えることが考えられる。実際, それを実現した理論として rational homotopy theory がある。

Rational homotopy theory でも使われる重要な dg algebra のクラスとして, semifree dg algebra がある。

• semifree dg algebra

Brzeziński [Brz07] によると, semifree dg algebra に関する remarkable result として Roiter の定理 [Roj80] がある。 それによると, semifree dg algebra と grouplike element を持つ coring の間に一対一対応がある。

別の方向での代数的トポロジーとの関連として, 位相空間の dg algebra の derived category を考えることもできる。 Jørgensen が [Jor; Jør06]で調べている。 [Jør08] に Jørgensen自身 による review がある。

• 位相空間の cochain algebra 上の small differential graded module のなす derived category が Auslander-Reiten quiver を持つことと, その空間が Poincaré duality space であることは同値である。

Jørgensen は, 球面の Auslander-Reiten quiver を調べ, 球面の次元を区別できる不変量であることを示しているが, K. Schmidt は thesis [Sch] で一般の dg algebra の Auslander-Reiten quiver を調べている。Frankild と Jørgensen の [FJ08] もその系統の仕事であり, 最後のsectionに代数的トポロジーへの応用が書いてある。

Dugger と Shipley は, dg algebra に対して, functorial に ring_spectrum を対応させ, dg algebra の圏と ring spectrumの圏を比較する, ということを [DS07] で行なっている。対応する spectrum を dg algebra の Eilenberg-Mac Lane ring spectrum と呼んでいる。それを用いて, dg algebra のtopological equivalence を定義している。

• differential graded algebra の topological equivalence

その元になっているのは, Shipley の [Shi07]で得られている次の結果のようである。 (ただしその論文の Theorem 1.2 には誤りがあり, [Shi] で少し弱い statement に置 き換えられている。)

• \(R\) 上の dg algebra の model category と Eilenberg-Mac Lane spectrum \(HR\) 上の algebra の model category との間にジグザグの Quillen同値の列が存在する。

この対応は model category の間の対応なので, commutative ring spectrum に対応するものは, 可換な dg algebra ではなく, up to homotopy で可換な dg algebra になる。その ようなものは, \(E_{\infty }\)-dg algebra と呼ばれている。 Bayindir [Bay18] が \(E_{\infty }\) dg algebra の間の \(E_{\infty }\) topological equivalence を定義し, 調べている。

• \(E_{\infty }\) differential graded algebra
• \(E_{\infty }\) differential graded algebra の間の \(E_{\infty }\) topological equivalence

Lin と Eismeier が monopole Floer homology の bar version を調べた [LE] では, Hirsch algebra という dg algebra が登場する。彼等は Saneblidze の [San16] を参照している。

• Hirsch algebra

dg algebra は, もちろん, 表現論や 代数幾何学でも用いられる。 有名(?)な事実としては, 「良い」scheme 上の coherent sheaf の bounded derived category は, ある dg algebra の derived categoryと同値になるというものがある。そのことから, ある種の dg algebra を代数幾何学的対象と考えようというのが Shklyarov の [Shk] である。 また, derived category の構成で homotopy category を取る前で止めて, dg category とみなす, というアイデアもある。

• dg category

Tabuada [Tab12] によると, この方向の起源は Bondal と Kapranov の仕事 [BK89; BK90] のようである。

dg category は dg algebra の “many-objectification” としても重要である。 例えば, 上記の Shipley による \(R\) 上の dg algebra の圏と \(HR\)-algebra の圏との間の Quillen同値には, Tabuada による“many-objectification” [Tab10] がある。

dg algebra の formality は, rational homotopy theory はもちろんであるが, それ以外の様々な分野で用いられる基本的な概念である。Kaledin が [Kal07] で不変量 (obstruction) を定義している。元の dg algebra のある deformation の\(2\)次の Hochschild cohomology の元として定義している。その証明については, Lunts の [Lun10] を見るとよい。

その Lunts の論文にもあるように, dg algebra での議論を \(A_{\infty }\)-algebra に拡張して考えるのは自然であるし, その方がよい場合も多い。 例えば, Muro は[Mur16] で unitを持つ dg algebra と unit を持たない dg algebra を比較しているが, その際に \(A_{\infty }\)構造を用いている。

• \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-category

dg algebra は \(A_{\infty }\)-algebra とみなすことができるが, Granja と Hollander の [GH08] によると, Kadeishvili [Kad82] は, dg algebra \(A\) に対しその homology \(H_*(A)\) に \(A_{\infty }\)-algebra の構造を定義し, さらに \(A\) と \(H_*(A)\) が \(A_{\infty }\)-algebra として quasi-isomorphic になることを示した, らしい。Granja と Hollander は, この事実を \(H_*(A)\)-module の実現問題に応用している。

部分的にしか積が定義されないものを考えることもある。McClure [McC06] は, PL多様体 のP L chain complex は intersection pairing により, partial commutative dg algebra になることを示している。

• partial dg algebra

他にも chain complex の一般化である \(N\)-complex を用いた一般化もある。Angel と Díaz ら [AD07; ACD07] によるものと Kapranov [Kap] や Dubois-Violette ら [Dub96; DK96; Dub98] による \(1\) の\(N\)乗根を用いたものがある。

• \(N\)-dg algebra

微分を2回続けて \(0\) になる, という条件を弱めた一般化としては curved dg algebra というものもある。

• curved dg algebra

双対的に dg coalgebra の概念も考えられる。そして Eilenberg と Moore [EM64] の時代, いやそれ以前に Adams [Ada56] の時代から, dg coalgebra は代数的トポロジーで使われてきた。

• dg coalgebra

例えば, dg algebra \(A\) と dg coalgebra \(C\) と twisting cochain と呼ばれる写像 \(\tau :C\to A\) から dg algebra \(C\otimes _{\tau }A\) を構成する方法は, Ed Brown [Bro59] により twisted tensor product として導入された。

• twisted tensor product

最近 Anel と Joyal [AJ] が dg coalgebra と dg algebra の関係を考察し, その関係を Sweedler theory という名前で呼んでいる。

• Sweedler theory

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