古典的な(コ)ホモロジー

単体的複体のホモロジーや特異チェイン複体を用いたホモロジーやコホモロジーについては, 数多くの教科書があり, ここでその全てを挙げることはできない。 代数的トポロジーの入門的な教科書なら大抵は必要十分なことが書いてある。 また特異ホモロジーは, 重要な道具ではあるが, 様々なホモロジー論の内の一つの, ある特別な構成法にすぎない。

• homology of simplicial complex
• singular homology

そのため, 私が4年生のセミナーで特異ホモロジーを扱うときは, 特定の教科書を最初から順に読むことはせず, 特異ホモロジーに関する基本的な定義と性質のリストを与え, 学生達に図書館で調べてもらうことで済ませている。

このように, 学生達に自分で調べてもらうことにしているので, 特にこの本がいい, というものはない。敢えて選ぶとすると, 以下のものだろうか:

日本語の本で特異ホモロジーについて勉強するなら, 中岡の [中岡稔70] が入手し易いし, しっかりしていると思う。 教科書としては適さないが, 百科事典的に使うために小松・中岡・菅原の [小中菅67] を持っているといいだろう。 Cubical singular chain complex を用いた特異ホモロジーの定義が書いてあるのは, 日本語ではこの本ぐらいではないだろうか。

英語の本では, 定番は Spanier の本 [Spa81] なのだろうか。 かなり古いが。J.P. May の [May99] は, (コ)ホモロジーを公理的に扱っていて, 手っ取り早く(コ)ホモロジーの性質を理解するには便利だろう。

他にも多数出版されているし, Hatcher の本 [Hat02] のように web から PDF ファイルを download できるものもある。

個人的には, Poincaré のアイデアが洗練されていって, 特異ホモロジーや一般ホモロジーに至る過程が面白いと思う。 原点に戻ってホモロジーのアイデアを学ぶためにも Dieudonné の [Die09] を一度読んでみることをお勧めする。また Poincaré の原論文 “Analysis Situs” の日本語訳 [斉藤利96] も手に入る。 “Analysis Situs”に関する website もできた。フランス語だが。

• 古典的な(コ)ホモロジーに関する基本的な定義と性質
• できれば知っていた方がいいこと

References

[Die09]

Jean Dieudonné. A history of algebraic and differential topology 1900–1960. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1989 edition [MR0995842]. Birkhäuser Boston, Ltd., Boston, MA, 2009, pp. xxii+648. isbn: 978-0-8176-4906-7. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4907-4.

[Hat02]

Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002, pp. xii+544. isbn: 0-521-79160-X; 0-521-79540-0.

[May99]

J. P. May. A concise course in algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999, pp. x+243. isbn: 0-226-51182-0.

[Spa81]

Edwin H. Spanier. Algebraic topology. Corrected reprint. New York: Springer-Verlag, 1981, pp. xvi+528. isbn: 0-387-90646-0.

[中岡稔70]

中岡稔. 位相幾何学 — ホモロジー論 —. Vol. 15. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1970.

[小中菅67]

小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.

[斉藤利96]

斉藤利弥. ポアンカレ トポロジー. 数学史叢書. 東京: 朝倉書店, 1996.