Singular Simplicial Sets, Singular Cubical Sets, and Singular Chain Complexes

単体的複体の homology の定義を, 任意の位相空間に拡張しようとして Eilenberg が考えた [Eil44] のが singular chain complex とその homology である。 現在のホモトピー論では, singluar simplicial set を作る functor と自由アーベル群を作る functor, そして simplicial Abelian group から chain complex を作る functor の合成で定義するのが普通である: \[ \category {Top} \rarrow {S} \category {Set}^{\Delta ^{\op }} \rarrow {F} \category {Abel}^{\Delta ^{\op }} \rarrow {C} \category {dg}(\category {Abel}) \] ここで, \(\category {Set}^{\Delta ^{\op }}\) は simplicial set の圏, \(\category {Abel}^{\Delta ^{\op }}\) は simplicial Abelian groupの圏, \(\category {dg}(\category {Abel})\) は (bounded below) differential graded Abelian group, つまり chain complex の圏である。

古いホモロジーの教科書 (例えば, 中岡の[中岡稔70]) だと直接 singular chain complex を定義しているが, それではこの構成の本質は見えてこない。 Simplicial set のレベルで考えるべきである。例えば, Dold-Kan の定理により, 上の列の3番目の関手 \(C:\category {Abel}^{\Delta ^{\op }} \to \category {dg}(\category {Abel})\) は圏同値になっている。

• singular simplicial set

位相空間の圏は直積により symmetric monoidal category の構造を持つ。一方 chain complex の圏や可換環 \(k\)上の graded module の圏もtensor product による symmetric monoidal category の構造を持つ。つまり特異ホモロジーを関手の合成 \[ \category {Top} \rarrow {S_*(\ )\otimes k} \category {dg}(\lMod {k}) \rarrow {H_*(\ )} \enriched {k}{\category {dgMod}} \] と考えたとき, 三つの圏全てが symmetric monoidal structure を持つ。そこでこれらの関手が symmetric monoidal structure を保つかどうかというのは自然な問題である。

• Eilenberg-Zilber の定理[EZ53]。つまり自然な chain map \[ \begin {split} \nabla & : S_*(X)\otimes S_*(Y) \longrightarrow S_*(X\times Y) \\ \rho & : S_*(X\times Y) \longrightarrow S_*(X)\otimes S_*(Y) \end {split} \] で互いに chain homotopy inverse になっているものが存在する。

Eilenberg-Zilber の定理の写像や chain homotopy については, acyclic model の方法で構成されることもあるが, 具体的に記述することも可能である。例えば, 日本語の教科書では, [小中菅67] に \(\nabla \) と \(\rho \) の記述がある。元々 Eilenberg と Mac Lane により [EM53; EM54] で定義されたものであるが。

• Eilenberg-Mac Lane の写像 [EM54] \[ \nabla : S_*(X)\otimes S_*(Y) \longrightarrow S_*(X\times Y) \] の定義。
• Alexander-Whitney の写像 \[ \rho : S_*(X\times Y) \longrightarrow S_*(X)\otimes S_*(Y) \] の定義。

\(\nabla \circ \rho \) と恒等写像の間の chain homotopy については, [EM54] で帰納的に定義されている。また Shih が [Shi62] でも帰納的に定義している。Shih の定義した chain homotopy の具体的な表示については [Rea00] の Appendix に Rubio の公式として与えられている。また, その chain homotopy は Shih operator と呼ばれている。

• Shih operator の帰納的な定義と Rubio の公式

このように, acyclic model の方法で証明するのではなく, 具体的な表示を与えることは, 計算トポロジーのような応用を考える上では重要である。

これらの写像や chain homotopy を考えるときには, normalized chain complex の上で考えた方がよい。実際, Eilenberg と Mac Lane は [EM54] で normalized chain complex の上で Eilenberg-Zilber の定理を証明している。

• 位相空間 \(X\) の normalized singular chain complex \(S_*^N(X)\) の定義
• Eilenberg-Mac Lane の写像と Alexander-Whitney の写像と Shih operator \(\Phi \) は normalized singular chain complex 上で次をみたす: \[ \begin {split} \rho \circ \nabla & = 1 \\ \nabla \circ \rho & = 1+\partial \Phi +\Phi \partial \\ \Phi \circ \nabla & = 0 \\ \rho \circ \Phi & = 0 \\ \Phi \circ \Phi & = 0 \end {split} \]
• 対角写像から誘導される写像と Alexander-Whitney の写像の合成 \[ S_*^N(X) \rarrow {\Delta _*} S_*^N(X\times X) \rarrow {\rho } S_*^N(X)\otimes S_*^N(X) \] により, \(S_*^N(X)\) は differential graded coalgebra になる。

Eilenberg-Zilber の定理により, 積空間のホモロジーは chain complex の tensor product のホモロジーの問題に帰着される。 とりあえずは以下のことを知っていればよいだろう。

• Chain complexに対するKünnethの定理。 つまり単項イデアル域 \(k\)上のchain complex \(C\)と\(D\)に対し, \(C\)が\(k\)上freeならば次の完全列がある: \[ 0 \longrightarrow H_*(C)\otimes _k H_*(D) \longrightarrow H_*(C\otimes _k D) \longrightarrow \Tor _1^k(H_*(C),H_*(D)) \longrightarrow 0 \] 更にこの完全列はsplitする。

Serre が [Ser51] で行なっているように, simplicial set ではなく cubical set を使うという選択肢もある。

• singular cubical set

(\(\bbC \)上の) 代数多様体や複素多様体で閉じた世界で考える際には, \(\Delta ^n\) は使えない。そのような場合によく使われるのが, 超平面 \[ \set {(z_0,\ldots ,z_n)\in \bbC ^{n+1}}{z_0+\cdots +z_n=1} \] である。例えば, Larusson の [Lár09] など。

Topological stack への一般化が Coyne と Noohi [CN16] により導入されている。

References

[CN16]

Thomas Coyne and Behrang Noohi. “Singular chains on topological stacks, I”. In: Adv. Math. 303 (2016), pp. 1190–1235. arXiv: 1502. 04995. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.08.037.

[Eil44]

Samuel Eilenberg. “Singular homology theory”. In: Ann. of Math. (2) 45 (1944), pp. 407–447. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969185.

[EM53]

Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. “On the groups \(H(\Pi ,n)\). I”. In: Ann. of Math. (2) 58 (1953), pp. 55–106. url: https://doi.org/10.2307/1969820.

[EM54]

Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. “On the groups \(H(\Pi ,n)\). II. Methods of computation”. In: Ann. of Math. (2) 60 (1954), pp. 49–139. url: https://doi.org/10.2307/1969702.

[EZ53]

Samuel Eilenberg and J. A. Zilber. “On products of complexes”. In: Amer. J. Math. 75 (1953), pp. 200–204. url: https://doi.org/10.2307/2372629.

[Lár09]

Finnur Lárusson. “Affine simplices in Oka manifolds”. In: Doc. Math. 14 (2009), pp. 691–697. arXiv: 0905.0532.

[Rea00]

Pedro Real. “Homological perturbation theory and associativity”. In: Homology Homotopy Appl. 2 (2000), pp. 51–88.

[Ser51]

Jean-Pierre Serre. “Homologie singulière des espaces fibrés. Applications”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 425–505. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969485.

[Shi62]

Weishu Shih. “Homologie des espaces fibrés”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 13 (1962), p. 88.

[中岡稔70]

中岡稔. 位相幾何学 — ホモロジー論 —. Vol. 15. 共立講座現代の数学. 東京: 共立出版, 1970.

[小中菅67]

小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.