Symmetric monoidal category など“可換な積”を持つ圏

Monoidal category は, “積”が unit を持ち, 結合法則をみたすものであるが, 更に可換性をみたすとき symmetric monoidal category という。もちろん, 可換性についても coherence condition として正確に記述すべきであるが。

Markl と Shnider と Stasheff による operad の本 [MSS02] には symmetric monoidal category についての説明もある。Hovey の モデル圏の本 [Hov99] の Chapter 4 にも少し解説がある。 他にも quantum group の文献にも解説がある。Kassel の本 [Kas95] など。 様々な条件のついた monoidal category の定義を集めたものとして Selinger の [Sel11] がある。辞書的に使うには便利である。 ちょっと書き方に癖があるが。

Coherency condition は面倒なので, 結合性, 可換性, unit 全てについて strict になっているものを考えることもある。そのようなものを permutative category という。Isbell の結果 [Isb69] により, 任意の symmetric monoidal category は permutative category と同値になる。

• permutative category

代数的トポロジーとの関係では, まず大きく二つの方向がある。 一つは 無限ループ空間, もう一つは operad である。

• small symmetric monoidal category と無限ループ空間の対応 (Thomason の[Tho95] や Mandell の [Man10])
• small permutative category から 作られる無限ループ空間の一意性 (Mayの[May78])

Operad は, 元々 May により位相空間の圏で定義され, 多重ループ空間の理論に用いられた概念であるが, その定義では位相空間の圏が symmetric monoidal category であることしか使われていない。より一般の symmetric monoidal category でも operad の定義をそのまま適用できる。 現在様々な分野で operad の概念が用いられているが, その基礎として symmetric monoidal category は重要である。そのため, Markl と Shnider と Stasheff による operad の本 [MSS02] には symmetric monoidal category についての説明がある。

Spectrum の category の symmetric monoidal structure と合うような symmetric monoidal category の category の symmetric monoidal structure については, Schmitt の [Sch] で考えられている。

ホモトピー論との関連では, Quillen の algebraic \(K\)-theory の構成がある。

• algebraic \(K\)-theory of symmetric monoidal category

Symmetric monoidal category の成す bicategory に monoidal structure を定義することもできる。 Baez の blog post では Hyland と Power の [HP02] が参照されている。 この blog post では, 他にも Schmitt の [Sch] や Bourke の [Bou17] が挙げられている。

• tensor product of symmetric monoidal categories

Small symmetric monoidal category の間の関手に対し, Getzler が [Get09] で pattern という概念を定義している。 Colored operad を一般化する概念のようである。

• pattern

Symmetric monoidal cateogry \(\mathcal {C}\) では, ある object を tensor する関手 \[ \otimes X : \mathcal {C} \longrightarrow \mathcal {C} \] が right adjoint \[ (-)^X : \mathcal {C} \longrightarrow \mathcal {C} \] を持つことが多い。更に, \(Y^X\) が \(X\) から \(Y\) への morphism の集合と同一視されることも多い。つまり \(\mathcal {C}\) が \(\mathcal {C}\) により enrich された圏になるのである。 これらが成り立つとき “closed” な圏であるという。例えば, [Bor94] などに解説がある。

• closed category と closed monoidal category

Symmetric monoidal category の dualizable object に対しては, trace の概念が定義できる。 Ponto と Shulman の解説 [PS14] を読むとよい。

• dualizable object
• monoidal category での trace

その一般化も色々考えられている。Joyal と Street と Verity [JSV96] は, symmetric monoidal という条件を braided monoidal という条件に弱めることを考えた。

• braided monoidal category

Picard category という種類の symmetric monoidal category は, triangulated category 上の determinant functor の値域となるものである。Breuning の [Bre11] に定義がある。

群作用を持つ symmetric monoidal category は, equivariant homotopy theory で使われる。 Schwede [Sch22] で global algebraic \(K\)-theory のために導入した parsummable category という構造もある。

• equivariant symmetric monoidal category
• parsummable category

他に構造を持ったsymmetric monoidal categoryとしては, Fong の thesis [Fon] で導入された hypergraph category がある。 Network diagram を記述するための導入された。Fong の仕事については, Baez による blog 記事もある。

• hypergraph category

全ての object が symmetric monoidal structure と compatible な comonoid structure を持つ symmetric monoidal category は, computer science や 確率論などに登場する。 Fritz と Liang [FL23] は, そのような構造を gs-monooidal category と呼んでいる。更に, monoidal category としての unit が terminal object であるものは Markov category と呼ばれている。

• gs-monoidal category
• Markov category

最近ではより 高次の symmetric monoidal bicategory もよく使われるようになってきた。 \((\infty ,1)\)-category での symmetric monoidal structure についても Lurie によって考えられている。

• 高次の圏での symmetric monoidal structure

2つの symmetric monoidal category の間の functor category の上には, Day convolution により symmetric monoidal structure が定義される。

• Day convolution

Glasman の [Gla16] では, それが symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category に一般化されている。この Day convolution は Day の 1970年の thesis で定義されたも のである。Day の thesis は Street の website から download できる。

他に参考になるものとしては, nLab の記事がある。

References

[Bor94]

Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 2. Vol. 51. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories and structures. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xviii+443. isbn: 0-521-44179-X.

[Bou17]

John Bourke. “Skew structures in 2-category theory and homotopy theory”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 12.1 (2017), pp. 31–81. arXiv: 1510.01467. url: https://doi.org/10.1007/s40062-015-0121-z.

[Bre11]

Manuel Breuning. “Determinant functors on triangulated categories”. In: J. K-Theory 8.2 (2011), pp. 251–291. arXiv: math/0610435. url: https://doi.org/10.1017/is010006009jkt120.

[FL23]

Tobias Fritz and Wendong Liang. “Free gs-monoidal categories and free Markov categories”. In: Appl. Categ. Structures 31.2 (2023), Paper No. 21, 31. arXiv: 2204.02284. url: https://doi.org/10.1007/s10485-023-09717-0.

[Fon]

Brendan Fong. The Algebra of Open and Interconnected Systems. arXiv: 1609.05382.

[Get09]

Ezra Getzler. “Operads revisited”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I. Vol. 269. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 675–698. arXiv: math/0701767. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4745-2_16.

[Gla16]

Saul Glasman. “Day convolution for \(\infty \)-categories”. In: Math. Res. Lett. 23.5 (2016), pp. 1369–1385. arXiv: 1308.4940. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2016.v23.n5.a6.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[HP02]

Martin Hyland and John Power. “Pseudo-commutative monads and pseudo-closed 2-categories”. In: vol. 175. 1-3. Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly. 2002, pp. 141–185. url: https://doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00133-0.

[Isb69]

John R. Isbell. “On coherent algebras and strict algebras”. In: J. Algebra 13 (1969), pp. 299–307. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(69)90076-3.

[JSV96]

André Joyal, Ross Street, and Dominic Verity. “Traced monoidal categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119.3 (1996), pp. 447–468. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100074338.

[Kas95]

Christian Kassel. Quantum groups. Vol. 155. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. xii+531. isbn: 0-387-94370-6. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0783-2.

[Man10]

Michael A. Mandell. “An inverse \(K\)-theory functor”. In: Doc. Math. 15 (2010), pp. 765–791. arXiv: 1002.3622.

[May78]

J. P. May. “The spectra associated to permutative categories”. In: Topology 17.3 (1978), pp. 225–228. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90027-7.

[MSS02]

Martin Markl, Steve Shnider, and Jim Stasheff. Operads in algebra, topology and physics. Vol. 96. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002, pp. x+349. isbn: 0-8218-2134-2. url: https://doi.org/10.1090/surv/096.

[PS14]

Kate Ponto and Michael Shulman. “Traces in symmetric monoidal categories”. In: Expo. Math. 32.3 (2014), pp. 248–273. arXiv: 1107.6032. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2013.12.003.

[Sch]

Vincent Schmitt. Tensor product for symmetric monoidal categories. arXiv: 0711.0324.

[Sch22]

Stefan Schwede. “Global algebraic K-theory”. In: J. Topol. 15.3 (2022), pp. 1325–1454. arXiv: 1912.08872.

[Sel11]

P. Selinger. “A survey of graphical languages for monoidal categories”. In: New structures for physics. Vol. 813. Lecture Notes in Phys. Heidelberg: Springer, 2011, pp. 289–355. arXiv: 0908.3347. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12821-9_4.

[Tho95]

R. W. Thomason. “Symmetric monoidal categories model all connective spectra”. In: Theory Appl. Categ. 1 (1995), No. 5, 78–118 (electronic).