群作用を持つ空間のホモトピー論

群作用を持つ空間の圏で, ホモトピー論を展開することもできる。 群 \(G\) が離散群の場合は, \(G\) を object が一つで morphism の集合が \(G\) である small category と見なし, \(G\)の作用を持つ空間をfunctor \[ X : G \longrightarrow \category {Top} \] と同一視する, というアイデアがある。この場合は, 空間の diagram のホモトピー論となり, モデル圏の手法が使える。例えば, Fritsch と Golasinski の [FG98] など。

• \(G\)-simplicial set の category の model structure

このように考えると, Borel construction や homotopy fixed point が, homotopy (co)limit として扱えるようになる。

例えば, \(G\)-simplicial set は Mukherjee と Sen の [MS10; MS11] などで使われている。そこでは, \(G\)-Kan complex の fundamental groupoid や local coefficient system などが定義されている。

• \(G\)-Kan complex の fundamental groupoid

CW複体に対しては, やはり cell の構造を保つ作用を考えるべきだろう。よって \(G\)-CW-complex の概念がある。

• \(G\)-CW-complex

Hambelton と Pamuk と Yalcin [HPY13] は, \(G\)-CW-complex を調べるために \(G\) の orbit category の表現のなす Abelian category を使うことを考えている。またその中で, ある条件の下では, chain complex から \(G\)-CW-complex が復元できることを示している。

安定ホモトピー圏を考えることもできる。

• equivariant stable homotopy theory

Fausk は, profinite group の作用する spectrum の圏を構築するために, [Fau08] で, pro-G-spectrum の概念を導入している。Mandell と May の equivariant orthogonal spectrum の拡張である。Fausk は, その §2 で \(G\)-space の圏のモデル構造についても議論している。

Profinite group の作用する profinite space の圏のモデル構造については, Quick の [Qui11] がある。

ホモトピー論では, 群の作用についての基本的な問題として次の二つがあった。 共に80年代に肯定的に解決された。

• Burnside ring に関する Segal conjecture
• Sullivan conjecture

Segal予想は, Carlsson の [Car83; Car84] で, Sullivan 予想は, H. Miller の [Mil84] で解決された。

Equivariant homotopy theory は, 組み合せ論の問題でも, 有用な道具として使われているようである。例えば, Kriz の [Křı́92; Křı́00], Zivaljevic ら の[MVŽ06], Blagojevic らの [BD07; BBM] など。 他にも数多くの結果が得られているようである。この話題について, Zivaljevic は [Živ96] という解説を書いている。

以上は, 群 \(G\) を一つ固定し, \(G\) の空間への作用を調べるという立場であるが, 様々な群の作用を同時に考えるというアプローチもある。Schwede [Sch18] は global homotopy theory と呼んでいる。 Global equivariant homotopy theory と呼ぶべきだと思うが。

• global equivariant homotopy theory

References

[BBM]

Pavle V. M. Blagojevic, Aleksandra S. Dimitrijevic Blagojevic, and John McCleary. Borsuk-Ulam Theorems for Complements of Arrangements. arXiv: math/0612002.

[BD07]

Pavle V. M. Blagojević and Aleksandra S. Dimitrijević Blagojević. “Using equivariant obstruction theory in combinatorial geometry”. In: Topology Appl. 154.14 (2007), pp. 2635–2655. arXiv: math/0609053. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2007.04.007.

[Car83]

Gunnar Carlsson. “G. B. Segal’s Burnside ring conjecture for \((\mathbf {Z}/2)^{k}\)”. In: Topology 22.1 (1983), pp. 83–103. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(83)90046-0.

[Car84]

Gunnar Carlsson. “Equivariant stable homotopy and Segal’s Burnside ring conjecture”. In: Ann. of Math. (2) 120.2 (1984), pp. 189–224. url: http://dx.doi.org/10.2307/2006940.

[Fau08]

Halvard Fausk. “Equivariant homotopy theory for pro-spectra”. In: Geom. Topol. 12.1 (2008), pp. 103–176. arXiv: math/0609635. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.103.

[FG98]

Rudolf Fritsch and Marek Golasiński. “Simplicial and categorical diagrams, and their equivariant applications”. In: Theory Appl. Categ. 4 (1998), No. 4, 73–81 (electronic).

[HPY13]

Ian Hambleton, Semra Pamuk, and Ergün Yalçin. “Equivariant CW-complexes and the orbit category”. In: Comment. Math. Helv. 88.2 (2013), pp. 369–425. arXiv: 0807 . 3357. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/289.

[Křı́00]

Igor Křı́ž. “A correction to: “Equivariant cohomology and lower bounds for chromatic numbers” [Trans. Amer. Math. Soc. 333 (1992), no. 2, 567–577; MR1081939 (92m:05085)]”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.4 (2000), pp. 1951–1952. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02494-0.

[Křı́92]

Igor Křı́ž. “Equivariant cohomology and lower bounds for chromatic numbers”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 333.2 (1992), pp. 567–577. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154049.

[Mil84]

Haynes Miller. “The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces”. In: Ann. of Math. (2) 120.1 (1984), pp. 39–87. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007071.

[MS10]

Goutam Mukherjee and Debasis Sen. “Equivariant simplicial cohomology with local coefficients and its classification”. In: Topology Appl. 157.6 (2010), pp. 1015–1032. arXiv: 0905 . 2279. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2010.01.004.

[MS11]

Goutam Mukherjee and Debasis Sen. “Steenrod’s operations in simplicial Bredon-Illman cohomology with local coefficients”. In: Homology Homotopy Appl. 13.1 (2011), pp. 273–296. arXiv: 1009. 4893. url: http://dx.doi.org/10.4310/HHA.2011.v13.n1.a10.

[MVŽ06]

Peter Mani-Levitska, Siniša Vrećica, and Rade Živaljević. “Topology and combinatorics of partitions of masses by hyperplanes”. In: Adv. Math. 207.1 (2006), pp. 266–296. arXiv: math/0310377. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.11.013.

[Qui11]

Gereon Quick. “Continuous group actions on profinite spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1024–1039. arXiv: 0906.0245. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.008.

[Sch18]

Stefan Schwede. Global homotopy theory. Vol. 34. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2018, pp. xviii+828. isbn: 978-1-108-42581-0. arXiv: 1802.09382. url: https://doi.org/10.1017/9781108349161.

[Živ96]

Rade T. Živaljević. “User’s guide to equivariant methods in combinatorics”. In: Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 59(73) (1996), pp. 114–130.