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代数的トポロジーでは, 空間の tower \[ \cdots \longrightarrow X_1 \longrightarrow X_0 \] をよく使う。例えば, Postnikov tower や Goodwillie tower など。空間の
Postnikov 分解を考えることは, inverse limit を取る操作の逆の操作である。一般の圏でも, inverse limit
を取ることにより失われる情報を得るために, tower の段階で考えることがある。より一般に, \(\N \) 以外で添字付けられた図式 (filtered
category からの contravariant functor, つまり cofiltered diagram) を object とした pro-object
の圏を考える。このとき, 添字の small category は, 一つに固定されているのではないことに注意する。よって morphism
の集合の定義を理解することが大事である。
Fausk と Isaksen の [FI07] には, pro-object に関する文献として [SGA4-172; AM86;
EH76] が挙げてある。恐らく, limit や colimit を取る前の図式で考えるというアイデアは, Grothendieck
に依るものだろう。
もちろん, filtered diagram (filtered category からの covariant functor) も考える。ind-object
という。
- 圏 \(\bm {C}\) の pro-object の圏 \(\category {Pro}(\bm {C})\)
- 圏 \(\bm {C}\) の ind-object の圏 \(\category {Ind}(\bm {C})\)
Blom と Moerdijk の [BM23] では, これらの圏は, \(\bm {C}\) の pro-completion とか ind-completion
などと呼ばれている。その §2.2 に基本的な性質がまとめられていて便利である。
Schäppi [Sch14] に書かれているように, \(\bm {C}\) が Abelian ならば, \(\category {Ind}(\bm {C})\) も Abelian になるが, \(\bm {C}\) が Abelian でなくても \(\category {Ind}(\bm {C})\)
が Abelian になる場合がある。Schäppi は, そのような圏の特徴付けを得ている。
図式のままで考えるのではなく, 実際に極限を取ってできるものでよく目にする のは profinite object である。 ある圏での
“有限なもの” のなす図式の極限で表されるものである。
よく使われるのは profinite group だろう。他にも profinite ring などがある。Quick [Qui08; Qui11]
のように, profinite set の圏の simplicial object を profinite space と呼ぶ, という使い方もある。 一方,
pro-simplicial set の圏の model structure は, より古くから, Edwards と Hastings [EH76],
Grossman [Gro75], Isaksen [Isa01] などにより定義されている。
Quick や Fausk や Isaksen などは, より一般に pro-object の成す category の model structure
を考えている。
Barnea と Schlank [BS] は, pro-object の成す category が model structure を持つときの
functorial factorization の存在を議論するために, pro-object の成す category の morphism の
factorization について調べている。
その関連で, 彼等は新しい pro-object の category の定義を [BS15] で提案している。Poset で enrich された
category として定義し, その “homotopy category” として定義している。
Barnea, Harpaz, Horel [BHH17] では, Isaksen [Isa04] や Barnea と Schlank [BS16] の
model category による approach と Lurie による \(\infty \)-category を用いた approach が比較され, それらが
同値であることが示されている。
Kontsevich と Soibelman [KS] は, object の全体が constructible set の ind-object になっている
\(A_{\infty }\)-category を考え, ind-constructible \(A_{\infty }\)-category と呼んでいる。
Previdi の [Pre11] によると, 与えられた圏 \(C\) の pro-object の圏を取る操作 \(\category {Pro}(C)\) と ind-object の圏を取る操作 \(\category {Ind}(C)\)
を繰り返すことにより, 有限(次元)のものから無限(次元)のものを構成するというアイデアは, K. Kato [Kat00] によるらしい。Kato
以外にも Beilinson [Beı̆87] も考えていたようで, Previdi は, それらを比較している。
Arkhipov と Kremnizer の [AK10] では, 有限次元ベクトル空間の圏の locally compact object を
\(1\)-Tate space, 帰納的に \(n\)-Tate space の圏の locally compact object を \((n+1)\)-Tate space
と呼んでいる。
- elementary Tate object
- Tate object
Braunling と Groechenig と Wolfson [BGW16] は, exact category での elementary
Tate object の成す subcategory の特徴付けを得ている。
2-category 版については Descotte と Dubuc の [DD14; DD] で提案されているものがある。
References
-
[AK10]
-
Sergey Arkhipov
and Kobi Kremnizer. “2-gerbes and 2-Tate spaces”. In: Arithmetic
and geometry around quantization. Vol. 279. Progr. Math. Boston,
MA: Birkhäuser Boston Inc., 2010, pp. 23–35. arXiv: 0708.4401.
url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4831-2_2.
-
[AM86]
-
M. Artin and B. Mazur. Etale homotopy. Vol. 100. Lecture Notes
in Mathematics. Reprint of the 1969 original. Springer-Verlag,
Berlin, 1986, pp. iv+169. isbn: 3-540-04619-4.
-
[Beı̆87]
-
A. A. Beı̆linson. “How to glue perverse sheaves”. In: \(K\)-theory,
arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986). Vol. 1289.
Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1987, pp. 42–51. url:
http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078366.
-
[BGW16]
-
Oliver Braunling, Michael Groechenig, and Jesse Wolfson. “Tate
objects in exact categories”. In: Mosc. Math. J. 16.3 (2016). With
an appendix by Jan
Šťovíček and Jan Trlifaj, pp. 433–504. arXiv: 1402.4969. url:
https://doi.org/10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504.
-
[BHH17]
-
Ilan Barnea, Yonatan Harpaz, and
Geoffroy Horel. “Pro-categories in homotopy theory”. In: Algebr.
Geom. Topol. 17.1 (2017), pp. 567–643. arXiv: 1507.01564. url:
https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.567.
-
[BM23]
-
Thomas Blom and Ieke Moerdijk. “Simplicial model structures on
pro-categories”. In: Algebr.
Geom. Topol. 23.8 (2023), pp. 3849–3908. arXiv: 2009.07539.
url: https://doi.org/10.2140/agt.2023.23.3849.
-
[BS]
-
Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. Functorial Factorizations in
Pro Categories. arXiv: 1305.4607.
-
[BS15]
-
Ilan Barnea and
Tomer M. Schlank. “A new model for pro-categories”. In: J. Pure
Appl. Algebra 219.4 (2015), pp. 1175–1210. arXiv: 1406.6229.
url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.06.001.
-
[BS16]
-
Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. “A projective model structure
on pro-simplicial sheaves, and the relative étale homotopy type”.
In: Adv. Math. 291 (2016), pp. 784–858. arXiv: 1109.5477. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.014.
-
[DD]
-
M. Emilia Descotte and Eduardo J. Dubuc. A theory of
\(2\)-pro-objects (with expanded proofs). arXiv: 1406.5762.
-
[DD14]
-
Emilia Descotte and Eduardo J. Dubuc. “A theory of
2-pro-objects”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 55.1 (2014),
pp. 2–36.
-
[EH76]
-
David A. Edwards and Harold M. Hastings. ̌Cech and Steenrod
homotopy theories with applications to geometric topology. Lecture
Notes in Mathematics, Vol. 542. Berlin: Springer-Verlag, 1976,
pp. vii+296.
-
[FI07]
-
Halvard Fausk and Daniel C. Isaksen. “t-model structures”.
In: Homology Homotopy Appl. 9.1 (2007), pp. 399–438. arXiv:
math/0511056.
-
[Gro75]
-
Jerrold W. Grossman. “A homotopy theory of pro-spaces”. In:
Trans. Amer. Math. Soc. 201 (1975), pp. 161–176.
-
[Isa01]
-
Daniel C. Isaksen. “A model structure on the category
of pro-simplicial sets”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 353.7
(2001), 2805–2841 (electronic). arXiv: math/0106152. url:
http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02722-2.
-
[Isa04]
-
Daniel C. Isaksen. “Strict model structures for pro-categories”.
In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle
of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2004,
pp. 179–198. arXiv: math/0108189.
-
[Kat00]
-
Kazuya Kato. “Existence theorem for higher local fields”. In:
Invitation to higher local fields (Münster, 1999). Vol. 3. Geom.
Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000, pp. 165–195.
url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2000.3.165.
-
[KS]
-
Maxim Kontsevich and
Yan Soibelman. Stability structures, motivic Donaldson-Thomas
invariants and cluster transformations. arXiv: 0811.2435.
-
[Pre11]
-
Luigi Previdi. “Locally compact objects in exact categories”. In:
Internat. J. Math. 22.12 (2011), pp. 1787–1821. arXiv: 0710.2509.
url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X11007379.
-
[Qui08]
-
Gereon Quick. “Profinite homotopy theory”. In: Doc. Math. 13
(2008), pp. 585–612. arXiv: 0803.4082.
-
[Qui11]
-
Gereon Quick. “Continuous group actions on profinite spaces”. In:
J. Pure
Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1024–1039. arXiv: 0906.0245.
url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.008.
-
[Sch14]
-
Daniel Schäppi. “Ind-abelian
categories and quasi-coherent sheaves”. In: Math. Proc. Cambridge
Philos. Soc. 157.3 (2014), pp. 391–423. arXiv: 1211.3678. url:
https://doi.org/10.1017/S0305004114000401.
-
[SGA4-172]
-
Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1:
Théorie des topos. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 269.
Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964
(SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, et J. L.
Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B.
Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. xix+525.
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