Lie Groupoids

Lie groupoid は, 大雑把に言えば, 可微分多様体の category の groupoid object である。当然 Lie群の一般化になっている。 ただ, その structure map には, smooth map であること以外に, いくつか条件を付けることも多い。 例えば, Bates と Weinstein [BW97] は, source map と target map \(s,t : G_{1}\to G_{0}\) が submersion であることを要求している。

様々な文献があるが, 以下に目にしたものを記録してみた。

• operator algebra の視点から書かれた Paterson の本 [Pat99]
• Cannas da Silva と Weinstein の [CW99]
• Mackenzie の [Mac05]
• Dufour と Zung の [DZ05]
• Crainic と Fernandes の lecture notes [CF11]
• Lerman による解説 [Ler10]
• Moerdijk と Mrcum の本 [MM03]
• del Hoyo の [Hoy13]
• Bursztyn と del Hoyo の [BH25]

Lerman のものは orbifold を扱っているが, 現代的には, proper étale Lie groupoid のことを orbifold と呼ぶことも多いようである。

Lie groupoid に対しては, 多様体 や Lie 群に関する概念を拡張したい。実際, 様々な試みがある。

• Lie groupoid (differentiable stack) の Euler標数 (volume) [Wei09]
• Lie groupoid with corners [Yu]

Nistor と Weinstein と Xu は [NWX99] で pseudodifferential operator を考えている。そこでは manifold with corners も許した Lie groupoid が扱われている。

• pseudodifferential operator [NWX99]

Kalisnik は [Kal11] で Lie groupoid の上の vector bundle に対する Serre-Swan の定理の類似を考えている。

Lie groupoid 上の principal \(2\)-bundle という概念 [CCK22] もある。

Configuration space の Lie groupoid 版としては, Roushon [Rou21] が提案している2つのモデルがある。 そして Fadell-Neuwirth fibration theorem が成り立つことを示している。 その中で, fibration についても考えている。

Yu [Yu] は, Lie groupoid の triangulation を考えている。より一般に Lie groupoid with corners という概念を導入し, 考えているのはその triangulation であるが。

Lie groupoid の一般化としては, Zhu が [Zhu09] で Lie \(n\)-groupoid と stacky Lie groupoid という概念を考えている。 ただ, stacky Lie groupoid は, Tseng と Zhu [TZ06] により Lie algebroid の 積分問題を解決するために, Weinstein groupoid という名前で導入されたものである。 Étale Lie groupoid の条件を少し弱めたものとして, Tang [Tan06] が pseudo étale groupoid という概念を考えている。

• Lie \(n\)-groupoid
• stacky Lie groupoid
• pseudo étale groupoid

Mackenzie は, Poisson geometry のために double Lie groupoid という概念を導入し, 調べている。

• double Lie groupoid

References

[BH25]

Henrique Bursztyn and Matias del Hoyo. “Lie groupoids”. In: Encyclopedia of mathematical physics. Vol. 4. Topology & geometry. Academic Press, Amsterdam, [2025] ©2025, pp. 469–484. isbn: 978-0-443-29955-1; 978-0-323-95703-8. arXiv: 2309.14105.

[BW97]

Sean Bates and Alan Weinstein. Lectures on the geometry of quantization. Vol. 8. Berkeley Mathematics Lecture Notes. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. vi+137. isbn: 0-8218-0798-6.

[CCK22]

Saikat Chatterjee, Adittya Chaudhuri, and Praphulla Koushik. “Atiyah sequence and gauge transformations of a principal 2-bundle over a Lie groupoid”. In: J. Geom. Phys. 176 (2022), Paper No. 104509, 29. arXiv: 2107.13747. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2022.104509.

[CF11]

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[CW99]

Ana Cannas da Silva and Alan Weinstein. Geometric models for noncommutative algebras. Vol. 10. Berkeley Mathematics Lecture Notes. American Mathematical Society, Providence, RI; Berkeley Center for Pure and Applied Mathematics, Berkeley, CA, 1999, pp. xiv+184. isbn: 0-8218-0952-0.

[DZ05]

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[Hoy13]

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[Kal11]

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[Ler10]

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[Mac05]

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[MM03]

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[NWX99]

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[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[Rou21]

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[Tan06]

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[TZ06]

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[Wei09]

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[Yu]

Hao Yu. On a new geometric homology theory. arXiv: 2004.07698.

[Zhu09]

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