境界や角を持つ多様体

境界を持つ多様体は, コボルディズムの基本である。

複素コボルディズムなどで, 係数環の生成元を消したいときには, いわゆる Baas-Sullivan 構成という方法があるが, そこでは角を持つ多様体 (manifold with corners) が使われている。 角を持つ多様体は, topological quantum field theory を拡張するためにも用いられる。 Albin と Melrose の [AM11] では, compact Lie群の多様体への作用を resolve するために用いられている。 その§1には, manifold with corners について簡潔にまとめられている。

Laures の [Lau00] によると, 角を持つ多様体のアイデアは, Cerf [Cer61] と Douady [Dou62] によるものらしい。 Baas-Sullivan 構成が導入された Baas の論文 [Baa73] では, Jänich の論文 [Jän68] も参照されている。 他の文献としては, Michael Davis の [Dav83] や Melrose の未完成の本 [Mel] の第1章などがある。

Jänich は, この論文で, manifold with faces, そして \(\langle n\rangle \)-manifold という概念を導入している。それは, Laures の [Lau00] でも使われている。

• manifold with corners
• manifold with faces
• \(\langle n\rangle \)-manifold

最後の \(\langle n\rangle \)-manifold は, Khovanov homotopy type などを定義するための, framed flow category の morphism の空間として用いられる。そして, framing を定義するために neat immersion や neat embedding が使われる。

• neat immersion and neat embedding

このように, manifold with corners として使われているものには, 微妙に定義が異なったものが, 何種類もある。 その比較としては, Joyce の [Joy12] の Remark 2.11 がとてもよくまとまっているので, manifold with corners を使うときには, まずこの Remark に目を通すのがよいと思う。 ただ, Joyce は, manifold with corners \(M\) の境界 \(\partial M\) として, 他の定義とは異なるものを用いているので注意しないといけない。

Castillo と Diaz は, [CD09] で, 多様体の ordinary homology での intersection pairing を考えるために都合の良いモデルとして, 角を持つ多様体を用いた chain complex を考えている。

角を持つ多様体上の解析を考えるときには, groupoid を使うのがよいようである。Monthubert の [Mon99] や Nistor と Weinstein と Xu の [NWX99] にあるように。

角を持つ多様体の間の morphism, つまり角を持つ多様体の成す category を提案しているのは, Joyce [Joy12] である。その動機は, symplectic geometry のようであるが。

Joyce によると, Banach manifold への一般化は, Margalef Roig と Outerelo Domínguez の [MO92] に書かれているらしい。

境界をある方法で潰した manifold with edge という概念もある。 [NSS09] では, そのK-theory の Poincaré duality が調べられている。

他の一般化としては, Joyce が考えているいくつかのものがある。

• manifold with generalized corners [Joy16]
• manifold with analytic corners [Joy]
• \(C^{\infty }\)-scheme with corners [FJ24]

Gromov は [Gro14] で特異点を持つ多様体の positive scalar curvature を考えるために, cornered polyhedral domain という概念を導入しているが, そこでは点の近傍のモデルとして \(\R ^{k}\times [0,\infty )^{n-k}\) を仮定していないので, manifold with corners より一般的である。また, Joyce のもの程定義が複雑ではない。 ただ \(n\)次元の smooth manifold の部分空間である \(n\)次元部分空間として埋め込まれていることを仮定している。

角を持つ多様体の境界は, 余次元 \(1\) の面の和集合であるが, それらは余次元 \(2\) の面で貼り合さっている。更に, 余次元 \(2\) の面の共通部分は余次元3の面である。このように, 角を持つ多様体は, stratified space として考えるのが自然である。

Abouzaid [Abo] は, その stratified space としての構造を記述するための categorical structure として, model for manifolds with generalized corners という 種類の small category を導入している。 ちょっと長すぎるので, もっと簡潔な名前にした方がいいと思うが。 そして, それを用いて Kuranishi structure の一般化を定義している。 Kuranishi structure は, Fukaya と Ono により [FO99] で導入された構造である。

• model for manifolds with generalized corners
• model for manifolds with generalized corners \(\cQ \) に対し \(\cQ \)-manifold
• Kuranishi structure

また stratification の構造を用いると, conormal homology というホモロジーが定義できる。

• conormal homology

Carrillo Rouse と Lescure [CL18] によると, conormal homology を定義する chain complex は, Bunke の仕事 [Bun09] に登場したのが最初のようである。

Carrillo Rouse と Lescure と Velásquez [CLV21] は, \(b\)-compact operator の成す \(C^{*}\)-algebra の \(K\)-homology から periodic conormal homology への Chern character に対応する写像を構成している。

Conormal homology は simplicial complex のホモロジーとして定義されるが, Schick と Velásquez [SV23] は, 任意の finite simplicial complex のホモロジーが, 角付き多様体の conormal homology として実現できることを示している。

角を持つ多様体を stratified space と考えるときの stratification を regular cell complex へ一般化することを Nanda [Nan20] が考えている。

• regular cell complex の canonical stratification

各 cell の周りの様子を homology を使って区別することにより stratification を定義している。その stratification を求める algorithm を Asai と Shah [AS22] が考えている。

References

[Abo]

Mohammed Abouzaid. An axiomatic approach to virtual chains. arXiv: 2201.02911.

[AM11]

Pierre Albin and Richard Melrose. “Resolution of smooth group actions”. In: Spectral theory and geometric analysis. Vol. 535. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2011, pp. 1–26. arXiv: 1012. 5765. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/535/10532.

[AS22]

Ryo Asai and Jay Shah. “Algorithmic canonical stratifications of simplicial complexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.9 (2022), Paper No. 107051, 42. arXiv: 1808 . 06568. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107051.

[Baa73]

Nils Andreas Baas. “On bordism theory of manifolds with singularities”. In: Math. Scand. 33 (1973), 279–302 (1974). url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-11491.

[Bun09]

Ulrich Bunke. “Index theory, eta forms, and Deligne cohomology”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 198.928 (2009), pp. vi+120. arXiv: math/0201112. url: https://doi.org/10.1090/memo/0928.

[CD09]

Edmundo Castillo and Rafael Díaz. “Homology and manifolds with corners”. In: Afr. Diaspora J. Math. (N.S.) 8.2 (2009), pp. 100–113. arXiv: math/0611839. url: https://doi.org/10.1017/s0017089500000161.

[Cer61]

Jean Cerf. “Topologie de certains espaces de plongements”. In: Bull. Soc. Math. France 89 (1961), pp. 227–380. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1961__89__227_0.

[CL18]

Paulo Carrillo Rouse and Jean-Marie Lescure. “Geometric obstructions for Fredholm boundary conditions for manifolds with corners”. In: Ann. K-Theory 3.3 (2018), pp. 523–563. arXiv: 1703. 05612. url: https://doi.org/10.2140/akt.2018.3.523.

[CLV21]

Paulo Carrillo Rouse, Jean-Marie Lescure, and Mario Velásquez. “On Fredholm boundary conditions on manifolds with corners I: Global corner cycles obstructions”. In: Ann. K-Theory 6.4 (2021), pp. 607–628. arXiv: 1910.11049. url: https://doi.org/10.2140/akt.2021.6.607.

[Dav83]

Michael W. Davis. “Groups generated by reflections and aspherical manifolds not covered by Euclidean space”. In: Ann. of Math. (2) 117.2 (1983), pp. 293–324. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007079.

[Dou62]

Adrien Douady. “Variétés à bord anguleux et voisinages tubulaires”. In: Séminaire Henri Cartan, 1961/62, Exp. 1. Secrétariat mathématique, Paris, 1961/1962, p. 11.

[FJ24]

Kelli Francis-Staite and Dominic Joyce. \(C^\infty \)-algebraic geometry with corners. Vol. 490. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 2024, p. 216. isbn: 978-1-009-40016-9. arXiv: 1911.01088.

[FO99]

Kenji Fukaya and Kaoru Ono. “Arnold conjecture and Gromov-Witten invariant”. In: Topology 38.5 (1999), pp. 933–1048. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(98)00042-1.

[Gro14]

Misha Gromov. “Dirac and Plateau billiards in domains with corners”. In: Cent. Eur. J. Math. 12.8 (2014), pp. 1109–1156. arXiv: 1811.04318. url: https://doi.org/10.2478/s11533-013-0399-1.

[Jän68]

Klaus Jänich. “On the classification of \(O(n)\)-manifolds”. In: Math. Ann. 176 (1968), pp. 53–76. url: https://doi.org/10.1007/BF02052956.

[Joy]

Dominic Joyce. Manifolds with analytic corners. arXiv: 1605.05913.

[Joy12]

Dominic Joyce. “On manifolds with corners”. In: Advances in geometric analysis. Vol. 21. Adv. Lect. Math. (ALM). Int. Press, Somerville, MA, 2012, pp. 225–258. arXiv: 0910.3518.

[Joy16]

Dominic Joyce. “A generalization of manifolds with corners”. In: Adv. Math. 299 (2016), pp. 760–862. arXiv: 1501.00401. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.06.004.

[Lau00]

Gerd Laures. “On cobordism of manifolds with corners”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.12 (2000), 5667–5688 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02676-3.

[Mel]

Richard B. Melrose. Differential analysis on manifolds with corners. url: https://math.mit.edu/~rbm/book.html.

[MO92]

Juan Margalef Roig and Enrique Outerelo Domínguez. Differential topology. Vol. 173. North-Holland Mathematics Studies. With a preface by Peter W. Michor. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1992, pp. xvi+603. isbn: 0-444-88434-3.

[Mon99]

Bertrand Monthubert. “Pseudodifferential calculus on manifolds with corners and groupoids”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 127.10 (1999), pp. 2871–2881. arXiv: funct-an/9707008. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-99-04850-9.

[Nan20]

Vidit Nanda. “Local cohomology and stratification”. In: Found. Comput. Math. 20.2 (2020), pp. 195–222. arXiv: 1707.00354. url: https://doi.org/10.1007/s10208-019-09424-0.

[NSS09]

V. E. Nazaı̆kinskiı̆, A. Yu. Savin, and B. Yu. Sternin. “On the Poincaré isomorphism in \(K\)-theory on manifolds with boundary”. In: Sovrem. Mat. Fundam. Napravl. 34 (2009), pp. 109–120. arXiv: 0711.4379. url: https://doi.org/10.1007/s10958-010-0082-z.

[NWX99]

Victor Nistor, Alan Weinstein, and Ping Xu. “Pseudodifferential operators on differential groupoids”. In: Pacific J. Math. 189.1 (1999), pp. 117–152. arXiv: funct - an / 9702004. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.1999.189.117.

[SV23]

Thomas Schick and Mario Velásquez. “Conormal homology of manifolds with corners”. In: J. Noncommut. Geom. 17.4 (2023), pp. 1425–1436. arXiv: 2111.13601. url: https://doi.org/10.4171/jncg/520.