t-Structures on Triangulated Categories

\(t\)-structure とは, Beilinson と Berstein と Deligne [BBD82] により, intersection cohomology をホモロジー代数的に解釈するために導入された概念である。 Abelian category からは derived category として triangulated category ができるが, その中には, 元の Abelian category が次数\(0\)に集中した object として含まれている。 逆に, 与えられた triangulated category の中に同じように含まれている Abelian category を得るための構造が, \(t\)-structure である。

例えば, Gel\('\)fand と Manin の本 [GM99] を見るとよい。

その Abelian category のことを core と言ったり heart と言ったりするが, 最近は heart と呼ぶことが多いようである。

• core あるいは heart

重要な条件としては, nondegenerate と bounded という条件がある。

• nondegenerate \(t\)-structure
• bounded \(t\)-structure

Lurie は [Lur] の中で, \(t\)-structure を持つ stable \(\infty \)-category に対し, homotopy limit を用いて left complete という概念を考えて, left complete stable \(\infty \)-category の性質を色々証明している。

• left (right) complete \(t\)-structure

Spectrum の成す stable \(\infty \)-category が left complete なので, 代数的トポロジーへの応用としては有用な概念のようである。 ただ, Neeman が [Nee11] で left complete でない derived category の例を構成している。

Stable \(\infty \)-category のような enhanced triangulated category で考える利点は, algebraic \(K\)-theory のような不変量が定義できることである。実際, Antieau と Gepner と Heller [AGH19] は stable \(\infty \)-category が bounded \(t\)-structure を持つための obstruction が negative \(K\)-theory にあることを示している。 この結果の解説を Neeman [Nee] が書いているので, まずはこれを読んでみるのが良いと思う。

Triangulated category では suspension は \([1]\) で表わされるが, それ以外に bounded \(t\)-structure と compatible な autoequivalence \((1)\) があるとき, endomorphism \(\phi : A[-1]\to A[1](1)\) で, その繰り返しから誘導される \(H^{-n}(A)\to H^{n}(A)(n)\) が同型であるようなものを持つ object は, その cohomology で \[ A \cong \bigoplus _{k} H^{-k}(A)[k] \] と表わすことができる。これは Deligne の定理 [Del68; Del94] らしいが, その事実の簡単な証明は, van den Bergh の [Van04] にある。

\(t\)-structure と関連して truncation functor という functor がある。 Skeleton を取るような functor である。

• truncation functor

\(t\)-structure が skeleton に対応するなら, coskeleton つまり Postnikov section に対応する構造もありそうであるが, 実際そのようなものを考えている人もいる。 Bondarko は [Bon10] で weight structure という \(t\)-structure の dual のような構造を定義し調べている。 これは Pauksztello が [Pau08] で co-\(t\)-structure と呼んでいるものと同じである。

• weight structure あるいは co-\(t\)-structure

References

[AGH19]

Benjamin Antieau, David Gepner, and Jeremiah Heller. “\(K\)-theoretic obstructions to bounded \(t\)-structures”. In: Invent. Math. 216.1 (2019), pp. 241–300. arXiv: 1610.07207. url: https://doi.org/10.1007/s00222-018-00847-0.

[BBD82]

A. A. Beı̆linson, J. Bernstein, and P. Deligne. “Faisceaux pervers”. In: Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981). Vol. 100. Astérisque. Paris: Soc. Math. France, 1982, pp. 5–171.

[Bon10]

M. V. Bondarko. “Weight structures vs. \(t\)-structures; weight filtrations, spectral sequences, and complexes (for motives and in general)”. In: J. K-Theory 6.3 (2010), pp. 387–504. arXiv: 0704. 4003. url: https://doi.org/10.1017/is010012005jkt083.

[Del68]

P. Deligne. “Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 35 (1968), pp. 259–278. url: http://www.numdam.org/item/PMIHES_1968__35__107_0.

[Del94]

Pierre Deligne. “Décompositions dans la catégorie dérivée”. In: Motives (Seattle, WA, 1991). Vol. 55. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, pp. 115–128. url: https://doi.org/10.1090/pspum/055.1/1265526.

[GM99]

S. I. Gelfand and Yu. I. Manin. Homological algebra. Translated from the 1989 Russian original by the authors, Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences [ıt Algebra, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994; MR1309679 (95g:18007)]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. iv+222. isbn: 3-540-65378-3.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Nee]

Amnon Neeman. Obstructions to the existence of Bounded t–structures. arXiv: 2208.06863.

[Nee11]

Amnon Neeman. “Non-left-complete derived categories”. In: Math. Res. Lett. 18.5 (2011), pp. 827–832. arXiv: 1103 . 5539. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2011.v18.n5.a2.

[Pau08]

David Pauksztello. “Compact corigid objects in triangulated categories and co-\(t\)-structures”. In: Cent. Eur. J. Math. 6.1 (2008), pp. 25–42. arXiv: 0705.0102. url: https://doi.org/10.2478/s11533-008-0003-2.

[Van04]

M. Van den Bergh. “A remark on a theorem by Deligne”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 132.10 (2004), 2857–2858 (electronic). arXiv: math/0212197. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-04-07334-4.