Jordan Algebras

Baez の [Bae12] によると, Jordan algebra は Pascual Jordan [Jor32] が 1932年に “algebra of observables” が満すべき公理を定式化しようとして導入したもののようである。 例外型Lie群の構成などで使われる。

作用素環の視点からも古くから調べられていることを, Beaudry らの [Bea+24] を切っ掛けに知った。Alfsen, Shultz, Størmer の [ASS78] では, JB-algebra の概念が導入され, その state space が調べられている。 そこでは, JC-algebra という種類の norm を持つ Jordan algebra についても触れられている。そこでは, [ES67; Stø65; Stø66; Stø68; Top65; Top66] などが参照されている。

• Jordan-Banach algebra
• JB-algebra
• JC-algebra

一般化として, 古くは Loos の Jordan triple system [Loo71] や Jordan pair [Loo75] がある。これらの Loos の仕事について, この blog post で Baez は McCrimmon の book review [McC78] を見ることを薦めている。

• Jordan triple system

Voronin の [Vor12] に, Jordan algebra の様々な変種について書かれている。それによると, Kolesnikov [Kol08] により導入された Jordan dialgebra と Velasquez と Felipe [VF08] の quasi-Jordan algebra が同じものであることが, Bremner [Bre10] によって証明されたらしい。

• Jordan dialgebra and quasi-Jordan algebra

Jordan algebra の定義では可換性が要求されるが, Jordan algebra の非可換版として Leibniz-Jordan algebra というものを Gubarev と Kolesnikov [GK11] が定義している。

• Leibniz-Jordan algebra

Bremner らは, Jordan trialgebra と post-Jordan algebra を [BBM17] で導入している。

• Jordan trialgebra
• post-Jordan algebra

References

[ASS78]

Erik M. Alfsen, Frederic W. Shultz, and Erling Størmer. “A Gel\('\)fand-Neumark theorem for Jordan algebras”. In: Advances in Math. 28.1 (1978), pp. 11–56. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(78)90044-0.

[Bae12]

John C. Baez. “Division algebras and quantum theory”. In: Found. Phys. 42.7 (2012), pp. 819–855. arXiv: 1101.5690. url: https://doi.org/10.1007/s10701-011-9566-z.

[BBM17]

Fatemeh Bagherzadeh, Murray Bremner, and Sara Madariaga. “Jordan trialgebras and post-Jordan algebras”. In: J. Algebra 486 (2017), pp. 360–395. arXiv: 1611.01214. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.04.022.

[Bea+24]

Agnès Beaudry et al. “Homotopical foundations of parametrized quantum spin systems”. In: Rev. Math. Phys. 36.9 (2024), Paper No. 2460003, 87. arXiv: 2303.07431. url: https://doi.org/10.1142/S0129055X24600031.

[Bre10]

Murray R. Bremner. “On the definition of quasi-Jordan algebra”. In: Comm. Algebra 38.12 (2010), pp. 4695–4704. arXiv: 1008.2009. url: https://doi.org/10.1080/00927870903468375.

[ES67]

Edward G. Effros and Erling Størmer. “Jordan algebras of self-adjoint operators”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 127 (1967), pp. 313–316. url: https://doi.org/10.2307/1994650.

[GK11]

V. Yu. Gubarev and P. S. Kolesnikov. “The Tits-Kantor-Koecher construction for Jordan dialgebras”. In: Comm. Algebra 39.2 (2011), pp. 497–520. arXiv: 0907.1740. url: https://doi.org/10.1080/00927871003591967.

[Jor32]

Pascual Jordan. “Über eine Klasse nichtassoziativer hyperkomplexer Algebren”. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1932), pp. 569–575.

[Kol08]

P. S. Kolesnikov. “Varieties of dialgebras, and conformal algebras”. In: Sibirsk. Mat. Zh. 49.2 (2008), pp. 322–339. arXiv: math/0611501. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11202-008-0026-8.

[Loo71]

Ottmar Loos. “Jordan triple systems, \(R\)-spaces, and bounded symmetric domains”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), pp. 558–561. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1971-12753-2.

[Loo75]

Ottmar Loos. Jordan pairs. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 460. Berlin: Springer-Verlag, 1975, pp. xvi+218.

[McC78]

Kevin McCrimmon. “Book Review: Jordan pairs”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 84.4 (1978), pp. 685–690. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1978-14525-X.

[Stø65]

Erling Størmer. “On the Jordan structure of \(C^{*}\)-algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965), pp. 438–447. url: https://doi.org/10.2307/1994536.

[Stø66]

Erling Størmer. “Jordan algebras of type \(\mathrm {I}\)”. In: Acta Math. 115 (1966), pp. 165–184. url: https://doi.org/10.1007/BF02392206.

[Stø68]

Erling Størmer. “Irreducible Jordan algebras of self-adjoint operators”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 130 (1968), pp. 153–166. url: https://doi.org/10.2307/1994779.

[Top65]

David M. Topping. “Jordan algebras of self-adjoint operators”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 53 (1965), p. 48.

[Top66]

D. M. Topping. “An isomorphism invariant for spin factors”. In: J. Math. Mech. 15 (1966), pp. 1055–1063.

[VF08]

Raúl Velásquez and Raúl Felipe. “Quasi-Jordan algebras”. In: Comm. Algebra 36.4 (2008), pp. 1580–1602. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870701865996.

[Vor12]

Vasily Voronin. “Special and exceptional Jordan dialgebras”. In: J. Algebra Appl. 11.2 (2012), pp. 1250029, 23. arXiv: 1011.3683. url: https://doi.org/10.1142/S0219498811005531.