Generalizations and Variations of Brown’s Representability Theorem

Brown の表現定理は, 様々な方向に一般化されている。

まず triangulated category については, Neeman の結果 [Nee92] がある。

• triangulated category での Brown の表現定理の類似

Franke の [Fra01] や Krause の [Kra02] などで, 一般化が考えられている。 また Krause の [Kra07] にも解説がある。Brown 表現可能性が成り立たない例を, Casacuberta と Neeman [CN09] が考えている。Modoi と Stovicek [MŠ12] が, Abel群の chain complex の homotopy category でも成り立たないことを示している。 Modoi の [Mod15] では covariant functor の場合が考えられている。

Adams の version [Ada71] は, finite complex で考えているので, その category の中で表現する object を見付けるのは難しい。そこで triangulated category の compact object 上で定義された functor で適当な条件を満たしているものに対し, representable functor の表現になるか, という Adams versionの 表現定理の一般化が考えられる。 Beligiannis [Bel00] や Christensen, Keller, Neeman [CKN01] は derived category の場合を詳しく調べている。 その拡張を Muroと Raventós [MR16] が考えている。

一方, Brownの表現定理は, ホモトピー関手に関する性質だから, triangulated category ではなく, model category 上の関手に対する一般化が考えられていてしかるべきである。 実際, principal \(G\)-bundle の同型類の集合は, 安定ホモトピー圏上の関手ではない。 ところが, それについてはあまり文献が見当たらない。Heller の [Hel81] と Rosicky の [Ros05] ぐらいだろうか。未出版のものとしては, nLab から download できる Jardine の preprint がある。

Heller は, 基点を持たない (連結とは限らない) CW複体の圏の上の集合に値を持つ Brown 関手は, 一般には表現可能ではないことを示す反例を見つけている。 しかし, 一方で群に値を持てば表現可能であることも示している。また covariant functor に関する表現可能性についても考えている。

この, 連結性の必要性については, MathOverflow の質問にもなっている。そこでの反例の文献として挙げられているのは, Freyd と Heller の [FH93] である。この論文は, 上記の Heller の論文 [Hel81] より出版年は新しいが, 実際に書かれたのは古いようである。 実際, Heller の1981年の論文でも Dydak の論文 [Dyd77] と共に参照されている。興味深いのは, これらの論文で Richard Thompson の群が使われていることである。

値域が位相空間やsimplicial set などの関手については, その表現可能性を考えるときの条件として, homotopy pushout を homotopy pullback に写すということが考えられる。よって, 関手の微積分と関係が深い。Chorny の [Cho13] でそのような関手が考えられている。

ホモトピー圏を取ることのできる構造としては, 最近は \((\infty ,1)\)-category も一般的であるが, それについては, Lurie の本 [Lur] の §1.4.1 にある。Macerato と Slaoui の [MS] にも書かれている。

• Lurie’s \((\infty ,1)\)-categorical Brown representability theorem

他の圏での例としては, McGuirk と Park [MP] による Grigor\('\)yan らの quiver のホモトピー圏の場合がある。

Covariant functor の場合については, 例えば Modoi の [Mod15] の Introduction をみるとよい。

References

[Ada71]

J. F. Adams. “A variant of E. H. Brown’s representability theorem”. In: Topology 10 (1971), pp. 185–198. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(71)90003-6.

[Bel00]

Apostolos Beligiannis. “On the Freyd categories of an additive category”. In: Homology Homotopy Appl. 2 (2000), pp. 147–185. url: https://doi.org/10.4310/hha.2000.v2.n1.a11.

[Cho13]

Boris Chorny. “Brown representability for space-valued functors”. In: Israel J. Math. 194.2 (2013), pp. 767–791. arXiv: 0707.0904. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0063-7.

[CKN01]

J. Daniel Christensen, Bernhard Keller, and Amnon Neeman. “Failure of Brown representability in derived categories”. In: Topology 40.6 (2001), pp. 1339–1361. arXiv: math/0001056. url: https://doi.org/10.1016/S0040-9383(00)00015-X.

[CN09]

Carles Casacuberta and Amnon Neeman. “Brown representability does not come for free”. In: Math. Res. Lett. 16.1 (2009), pp. 1–5. arXiv: 0807.1872. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2009.v16.n1.a1.

[Dyd77]

Jerzy Dydak. “A simple proof that pointed FANR-spaces are regular fundamental retracts of ANR’s”. In: Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25.1 (1977), pp. 55–62.

[FH93]

Peter Freyd and Alex Heller. “Splitting homotopy idempotents. II”. In: J. Pure Appl. Algebra 89.1-2 (1993), pp. 93–106. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90088-B.

[Fra01]

Jens Franke. “On the Brown representability theorem for triangulated categories”. In: Topology 40.4 (2001), pp. 667–680. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00034-8.

[Hel81]

Alex Heller. “On the representability of homotopy functors”. In: J. London Math. Soc. (2) 23.3 (1981), pp. 551–562. url: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/s2-23.3.551.

[Kra02]

Henning Krause. “A Brown representability theorem via coherent functors”. In: Topology 41.4 (2002), pp. 853–861. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00010-6.

[Kra07]

Henning Krause. “Derived categories, resolutions, and Brown representability”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 101–139. arXiv: math / 0511047. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08405.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Mod15]

George Ciprian Modoi. “Constructing cogenerators in triangulated categories and Brown representability”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.8 (2015), pp. 3214–3224. arXiv: 1402 . 7211. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.10.010.

[MP]

Zachary McGuirk and Byungdo Park. Brown representability for directed graphs. arXiv: 2003.07426.

[MR16]

Fernando Muro and Oriol Raventós. “Transfinite Adams representability”. In: Adv. Math. 292 (2016), pp. 111–180. arXiv: 1304.3599. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.01.009.

[MS]

Mark Macerato and Saad Slaoui. The Brown representability theorem, old and new. url: https://web.ma.utexas.edu/users/slaoui/notes/Brown_rep_v2.pdf.

[MŠ12]

George Ciprian Modoi and Jan Šťovíček. “Brown representability often fails for homotopy categories of complexes”. In: J. K-Theory 9.1 (2012), pp. 151–160. arXiv: 1012 . 4109. url: http://dx.doi.org/10.1017/is011010026jkt167.

[Nee92]

Amnon Neeman. “The Brown representability theorem and phantomless triangulated categories”. In: J. Algebra 151.1 (1992), pp. 118–155. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(92)90135-9.

[Ros05]

Jiří Rosický. “Generalized Brown representability in homotopy categories”. In: Theory Appl. Categ. 14 (2005), no. 19, 451–479. arXiv: math/0506168.