Richard Thompson の群

Richard Thompson は, 1965年に, 単位区間 \([0,1]\) の PL同相群の部分群として, ある 離散群 \(F\) を定義した。Thompson の群と呼ばれているようであるが, 有限群で有名な John Thompson の名が付いた finite sporadic group と混同しないように, Richard Thompson の群と呼んだ方が良いと思う。関連した \(V\) や \(T\) という群もある。解説としては Cannon と Floyd と Parry の [CFP96] がある。Fiore と Leinster による monoidal category を用いた特徴付け [FL10] もある。

• \(F\)
• \(T\)
• \(V\)

\(F\) は, Freyd とHeller [FH93] や Dydak [Dyd77] の homotopy idempotent についての論文にも現れる。 この MathOverflow の質問の回答にも登場するように, これらは Brown の表現定理とも関係している。 Cannon と Floyd と Parry の解説 [CFP96] によると, これは \(F\) の独立な再発見のようである。

他の応用としては, 暗号理論に使うことも試み [SU05] られている。

Gil Kalai の blog で, 2004年に AIM (American Institute of Mathematics) で Richard Thompson の群についての workshop が開かれたことを知った。そこでの problem session の PDF ファイルも download できる。その中の最初の問題は, amenability であるが, それについては, amenable であることを証明したという人 [Sha] も現われた。その Shavgulidze の証明について, Brin らがセミナーを行ない, それ経過を arXiv のファイル [Bri] を更新することにより記録するということを行なっている。

一方で, amenable でないということを証明したと主張する人 [Akh] もいる。一度 arXiv に現れた後, withdraw され, 再度登場した。

このblog postによると, Richard Thompson の群の amenability については, “wide open” と考えてよいようである。

その ホモロジーは, Kenneth S. Brown と Geoghegan [BG84] により決定されている。 興味深いことに, そのホモロジーは積をもつ。 Brown の [Bro06] に, 積構造も込めたホモロジーの決定について書いてある。

Dranishnikov と Sapir [DS11] は, その dimension growth について調べている。

Bieri らは, [BGK10] で \(F\) の Bieri-Neumann-Strebel-Renz invariant について調べている。

\(T\) は \(S^1\) のPL同相群の部分群である。Funar と Sergiescu [FS10] は, その central extension と dilogarithm との関係を調べている。

他にも, Richard Thompson の群の拡大は色々考えられている。例えば \(V\) の braided version がある。Brin [Bri96; Bri07] とDehornoy [Deh05; Deh06] により独立に定義されたものらしい。 Funar と Kapoudjian [FK04; FK08; FK11; FKS] によると, braided Thompson group は infinite surface の mapping class group と関係が深いようである。

他にも様々な群が定義されている。Fournier-Facio, Lodha, Zaremsky の [FLZ] の §2 を見るとよい。 そこで挙げられているの以下のものである。

• Brin-Dehornoy braided Thompson group \(bV\)
• pure braided Thompson group
• braided version of \(F\), \(bF\) [Bra+08]
• braided version of \(T\), \(bT\) [FK08; FK11; Wit19]
• braided Higman-Thompson groups \(bV_{n}\) [AC22; SW23]
• braided Brin-Thompson groups \(sV_{\mathrm {br}}\) [Spa]
• ribbon braided Thompson group \(rV\) [Thu]
• braided Röver-Nekrashevych group \(\mathrm {br}V_{d}(G)\) [SZ]
• closed version of \(bV\), \(\widehat {bV}\) [Bri07]

Bux, Fluch, Schwandt, Witzel, Zaremsky [Bux+16] は, braided Thompson group \(bV\), \(bF\) は type \(F_{\infty }\) であることを示している。

Dehornoy は, [Deh05] で, より一般的な “geometric group” という視点から, presentation を得る方法を考えている。\(F\) や \(V\) の新しい presentation を得, braid 群や 対称群との関係も調べている。Jonathan Cohen の [Coh] ではその categorification が考えられている。

また, Dehornoy は [Deh12] で, Tamari lattice との関係を調べている。

Richard Thompson の群は, 単位区間 \([0,1]\) や \(S^1\) や Cantor set の同相群の部分群であるが, これら“\(1\)次元”のものを, より高次元のものに変えて類似の群を定義することも考えられている。Brin の [Bri04; Bri05] など。Fluch らの [Flu+13] では, Brin-Thomspon group と呼ばれている。

• higher dimensional Thompson groups あるいは Brin-Thompson group

Funar と Neretin [FN18] によると, Brin-Thompson group や braided Thompson group は, 多様体の Cantor set のある種の diffeomorphism group として得られるようである。

Fluch ら [Flu+13]は, Brin-Thompson group が type \(\mathrm {F}_{\infty }\) であ ることを示している。道具として, discrete Morse theory を用いている。

Higman [Hig74] により導入された一般化は Higman-Thompson group と呼ばれるようである。

• Higman-Thompson group \(V_{n,r}\)

そのホモロジーが Szymik と Wahl [Szy]により決定されているが, その結果が面白い。\(V_{n,r}\) のホモロジーは mod \(n-1\) Moore spectrum の infinite loop space のホモロジーに同型になるという。

Belk と Forrest [BF15] により導入された basilica Thompson group というものもある。Basilica Julia set の 同相群の部分群として定義される。

• basilica Thompson group

他の一般化 (類似のもの) としては, 以下のものが Thumann の [Thu17]で述べられている。

• diagram group [GS97]
• groups of piecewise linear homeomorphisms [Ste92]
• locally finitely determined groups of local similarities [Hug09]

新しい視点として, Thumann [Thu] が operad を用いて様々な Thompson-type group を統一的に operad group として扱うことを提案している。

• operad group

そして [Thu17] で, operad group が type \(\mathrm {F}_{\infty }\) であることを示している。

Funar と Neretin [FN18] によると, Cantor set 上の微分構造を考え, その diffeomorphism group や mapping class group として表すこともできるようである。

V. Jones [Jon17] は, Richard Thompson group 達と subfactor theory, そして link との関連を発見した。 Moskovich によるこの blog post をまず読むとよい。 Brothier による解説 [Brob] もある。

Brothier によると, Jones の考えたことは, より一般に small category から群を作り, functor からその群の作用を作る方法とみなすことができる。

Brothier の [Broa] では Jones technology と呼ばれている。 そして, その方法で作られる群は group of fractions とか fraction group と呼ばれている。

• group of fractions or fraction group
• Jones action

その名前から想像できるように, 方法としては, small category から Gabriel-Zisman の category of factions により全ての morphism の逆元を付け加えて groupoid にし, ある object からその object への morphism の成す群を考えるだけである。

Jones は, この方法により, 自然数を object とし leaf が \(m\) 個で root が \(n\) 個の rooted binary forest の集合を \(m\) から \(n\) への morphism の集合とする category から \(F\) ができることに気がついたようである。ただし, 同様のことは K.S. Brown [Bro87] によってずっと前に発見されていたようであるが。 作用の構成は, Jones により初めて発見されたようである。

Brothier [Broa; Bro23; BS] は, この方法により forest-skein groups という群の族を構成し, 調べている。

• forest-skein groups

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