Derived Algebraic Geometry

可換環は, Abel群が tensor product で成す monoidal category での commutative monoid object なので, より一般の symmetric monoidal category での commutative monoid object を元に, 代数幾何の真似事をしようというのは誰でも考えそうなことだと思うが, 意外にもごく最近までそのアイデアを実現した人はいなかった。

もちろん, 可換環だけだと affine scheme しか得られないが, 一般のscheme は functor of points として affine scheme から得られる。つまり, 可換環の圏から集合の圏への covariant functor \[ \category {CommRing} \longrightarrow \category {Set} \] を考えればよいのである。よって 可換環の圏を symmetric monoidal category (の一般化) の commutative monoid object (の一般化) の圏に変えれば, scheme の一般化が得られる。もちろん, 値域の集合の圏を一般化することも考えられる。 ホモトピー論的な手法を使いたければ, 値域の集合の圏を simplicial set の圏などのホモトピー論ができる圏に変えればよい。 Ben-Zvi と Francis と Nadler [BFN10] の §2.3 に書かれているように, この二つの一般化を同時に行なってできたものを調べるのが derived algebraic geometry のようである。

Goerss の Bourbaki seminar での講演 [Goe10] では, その起源として, Serre による intersection theory での multiplicity に関する仕事 [Ser65], Illusie の cotangent complex に関する仕事 [Ill71; Ill72], そして現代的な algebraic \(K\)-theory の構成, の三つが挙げられている。Toën の survey [Toë14a] の最初にも “selected piece of history” があるが, そこでも intersection theory に関する Serre の仕事が最初に挙げられている。

さて, では定義域を何に置き換えるかであるが, strict に可換な monoid を up to homotopy にしたいので, ホモトピーの概念を持つ symmetric monoidal category の類似で考えたい。

一般的な選択肢としては, chain complex の category がある。その commutative monoid object は commutative dg algebra であり, それに基いた解説として Pridham の lecture notes [EP] がある。

他には, simplicial module の category や (近代的な) spectrum の category があるが, spectrum に対するホモロジー代数的構成の類似が色々知られていることからも, commutative ring spectrum (\(E_{\infty }\)-ring spectrum) を可換環のように扱うのは自然である。

より一般的には, symmetric monoidal model category の枠組みで議論すべきだろう。 その方向では, Toën と Vezzosi の, 一連の論文 [TVc; TV05; TV04; TVe; TV08] がある。

この枠組みは代数幾何学以外にも使えそうで, 実際 Ben-Bassat と Kremnizer [BK17] は Berkovich analytic space [Ber90] に使うことを考えている。また, その論文の続編では, complex analytic geometry や 微分幾何学をこの枠組みで考える, と言っている。 Bambozzi, Ben-Bassat, Kremnizer の [BBK18] は, derived analytic geometry の基礎付けを目指したもの, と言っている。

• derived differential geometry
• derived analytic geometry

Toën の [Toë14b] では, deformation quantization への新しい approach として用いられている。

もう一つの方向として, \((\infty ,1)\)-category を使うことも考えられている。これは, Lurie [Lurc] のアイデアだろうか。その基礎となることについては, [Lure; Lur09; Lura; Lurb] などに書かれている。 (近代的な) spectrum の圏も \((\infty ,1)\)-category として扱っている。 よって, この方法でも \(E_{\infty }\)-ring spectrum に基づいた derived algebraic geometry が得られる。 これらの Lurie の DAG の基礎についての preprint は Higher Algebra という一冊の本 [Lurd] にまとめられたようである。

いづれの方法ににせよ, Grothendieck が代数幾何学を再構築したのと同様, 可換環に対応する最も基礎的な部分から築き上げていく必要があるので, 大変である。勉強するのも大変である。まず Ben-Zvi と Francis と Nadler の [BFN10] の “2. Preliminaries” を読んでみると, derived algebraic geometry の目指すところが分かるかもしれない。

様々な幾何学的構造を derived algebraic geometry の文脈に拡張することも, 当然行なわれている。例えば, symplectic structure については, Pantev, Toën, Vaqui’e, Vezzosi [Pan+13] の \(n\)-shifted symplectic structure がある。 Vezzosi は [Vez16]で derived stack 上の quadratic form や Clifford algebra の \(n\)-shifted 版を定義している。

• \(n\)-shifted symplectic structure

Toën と Vezzosi は, 一連の論文 [TV23; TVb; TVd; TVa; TVf] で derived (algebraic) geometry での foliation を導入し, 調べている。

• derived foliation

References

[BBK18]

Federico Bambozzi, Oren Ben-Bassat, and Kobi Kremnizer. “Stein domains in Banach algebraic geometry”. In: J. Funct. Anal. 274.7 (2018), pp. 1865–1927. arXiv: 1511 . 09045. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2018.01.003.

[Ber90]

Vladimir G. Berkovich. Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields. Vol. 33. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1990, pp. x+169. isbn: 0-8218-1534-2. url: https://doi.org/10.1090/surv/033.

[BFN10]

David Ben-Zvi, John Francis, and David Nadler. “Integral transforms and Drinfeld centers in derived algebraic geometry”. In: J. Amer. Math. Soc. 23.4 (2010), pp. 909–966. arXiv: 0805.0157. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-10-00669-7.

[BK17]

Oren Ben-Bassat and Kobi Kremnizer. “Non-Archimedean analytic geometry as relative algebraic geometry”. In: Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 26.1 (2017), pp. 49–126. arXiv: 1312 . 0338. url: https://doi.org/10.5802/afst.1526.

[EP]

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[Goe10]

Paul G. Goerss. “Topological modular forms [after Hopkins, Miller and Lurie]”. In: Astérisque 332 (2010). Séminaire Bourbaki. Volume 2008/2009. Exposés 997–1011, Exp. No. 1005, viii, 221–255. arXiv: 0910.5130.

[Ill71]

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[Ill72]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. II. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 283. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. vii+304.

[Lura]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry I: Stable Infinity Categories. arXiv: math/0608228.

[Lurb]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra. arXiv: math/0702299.

[Lurc]

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[Lurd]

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[Lure]

Jacob Lurie. On Infinity Topoi. arXiv: math/0306109.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Pan+13]

Tony Pantev, Bertrand Toën, Michel Vaquié, and Gabriele Vezzosi. “Shifted symplectic structures”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 117 (2013), pp. 271–328. arXiv: 1111 . 3209. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10240-013-0054-1.

[Ser65]

Jean-Pierre Serre. Algèbre locale. Multiplicités. Vol. 11. Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1965, vii+188 pp. (not consecutively paged).

[Toë14a]

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[Toë14b]

Bertrand Toën. “Derived algebraic geometry and deformation quantization”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians—Seoul 2014. Vol. II. Kyung Moon Sa, Seoul, 2014, pp. 769–792. arXiv: 1403.6995.

[TVa]

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[TVb]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Algebraic foliations and derived geometry II: the Grothendieck-Riemann-Roch theorem. arXiv: 2007.09251.

[TVc]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. Algebraic Geometry over model categories (a general approach to derived algebraic geometry). arXiv: math/0110109.

[TVd]

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[TVe]

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[TVf]

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[TV08]

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[TV23]

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[Vez16]

Gabriele Vezzosi. “Quadratic forms and Clifford algebras on derived stacks”. In: Adv. Math. 301 (2016), pp. 161–203. arXiv: 1309.1879. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.06.012.