代数的およびホモロジー代数的構成の spectrum の圏での類似

ホモロジー代数や, それに関連した分野で行なわれる代数的構成の中に, stable model category, 特に spectrum の model category の対象に対して適用できるものがある。 また関連した定義も spectrum の category の言葉に翻訳できる場合が多い。

Ring spectrum に対しては, まず module の概 念が定義できる。よって, derived category を考えることもできる。

• ring spectrum 上の module
• ring spectrum の derived category

また, topological Hochschild homology のような, 環のホモロジーやコホモロジーの類似も定義できる。

• ring spectrum の 代数的(コ)ホモロジー

Lie algebra は, operad 上の algebra として定義する。 その operad は, Goodwillie calculus の研究で Ching [Chi05] により得られたものである。 その operad 上の algebra を spectral Lie algebra と呼ぶ。 Unstable homotopy theory での \(v_{n}\)周期性 を調べるのに使われている。

• spectral Lie algebra

Steenrod algebra 上の module に対する構成の spectrum level での類似も考えられている。Lunøe-Nielsen と Rognes の [LR12] では Singer construction の spectrum version が構成されている。

環に対する各種の次元の ring spectrum 版については, Hovey と Lockridge が色々調べている。

• ring spectrum の各種次元 ([HL11; HL13])

これらは単なる類似というより, 拡張というべきだろう。Dugger と Shipley の結果 [Shi07; Shi; DS07] により, differential graded algebra は ring spectrum とみなすことができるし, 逆に Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の algebra spectrum の model category は differential graded algebra の model category と Quillen 同値になるからである。 Richter と Shipley [RS17] は, Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の commutative algebra spectrum の場合を考えている。

Azumaya algebra や Brauer group も考えることができる。Baker と Richter の [BRS12] があるし, より一般的には Niles Johnson の [Joh14] がある。

より初等的な環論に登場する概念の類似は, 最近になって少しづつ考えられるようになってきた。例えば, Hovey [Hov] は ring spectrum の ideal の理論を考えている。元々は, Jeff Smith のアイデアらしいが。

可換環でできることを, commutative ring spectrum に拡張することも考えられている。一つの方向として, 代数幾何学の類似を commutative ring spectrum で行なうというものがある。 他にも Fontaine-Illusie-Kato の logarithmic geometry [Kat89] の類似を Rognes [Rog09] が考えている。

Rognes [Rog; Rog08] は, Galois 理論の類似を展開している。

• commutative \(S\)-algebra の Galois理論

体論における概念の類似としては, unramified extension や totally ramified extension の概念の拡張が, Berman [Ber] により導入されている。

Carlsson は, [Car08] で derived completion を定義した。また, それに関連したものとして, [Car11] で deformation \(K\)-theory というものを定義している。T. Lawson の [Law06b] や Ramras の [Ram07] などを見るとよい。

• derived completion
• deformation \(K\)-theory

これは, 群の表現の成す圏から定義される spectrum で, 表現環と, 分類空間の \(K\)-theory の間の completion を取ったものとの同型を与える Atiyah-Segal の定理の拡張を考える際に有用である。関連して, deformation representation ring [Law06a] などが考えられている。

これらは「ホモロジー代数的構成」とは言えないかもしれないが, Abel圏での構成を derived category に拡張することの類似で, 代数的構成を spectrum の圏での構成に拡張したものという点で, 「ホモロジー代数的」である。

Ralph Cohen と Klang [CK20] は, Calabi-Yau algebra などの概念 を spectrum の世界に導入している。

一方, spectrum の圏での構成の類似を chain complex で行なうという試みもある。 Kaledin の [Kal11; Kal13] などである。これらは equivariant stable homotopy theory を元にしたものであるが, 群の作用を持つ場合は (安定) ホモトピー論の方が, 進んでいるということだろうか。

References

[Ber]

John D. Berman. Ramification and descent in homotopy theory and derived algebraic geometry. arXiv: 2112.14568.

[BRS12]

Andrew Baker, Birgit Richter, and Markus Szymik. “Brauer groups for commutative \(S\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.11 (2012), pp. 2361–2376. arXiv: 1005 . 5370. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.03.001.

[Car08]

Gunnar Carlsson. “Derived completions in stable homotopy theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.3 (2008), pp. 550–577. arXiv: 0707. 2585. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.06.015.

[Car11]

Gunnar E. Carlsson. “Derived representation theory and the algebraic \(K\)-theory of fields”. In: J. Topol. 4.3 (2011), pp. 543–572. arXiv: 0810.4826. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr013.

[Chi05]

Michael Ching. “Bar constructions for topological operads and the Goodwillie derivatives of the identity”. In: Geom. Topol. 9 (2005), 833–933 (electronic). arXiv: math / 0501429. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.833.

[CK20]

Ralph L. Cohen and Inbar Klang. “Twisted Calabi-Yau ring spectra, string topology, and gauge symmetry”. In: Tunis. J. Math. 2.1 (2020), pp. 147–196. arXiv: 1802 . 08930. url: https://doi.org/10.2140/tunis.2020.2.147.

[DS07]

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[HL11]

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[HL13]

Mark Hovey and Keir Lockridge. “Homological dimensions of ring spectra”. In: Homology Homotopy Appl. 15.2 (2013), pp. 53–71. arXiv: 1001.0902. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n2.a3.

[Hov]

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[Joh14]

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[Kal11]

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[Kal13]

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[Kat89]

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[Law06a]

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[LR12]

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[Ram07]

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[Rog]

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[Rog08]

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[Rog09]

John Rognes. “Topological logarithmic structures”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 401–544. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.401.

[RS17]

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[Shi]

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[Shi07]

Brooke Shipley. “\(H\Z \)-algebra spectra are differential graded algebras”. In: Amer. J. Math. 129.2 (2007), pp. 351–379. arXiv: math/0209215. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.2007.0014.