体についての基本とGalois理論

代数的トポロジーで体が有用なのは, まず(コ)ホモロジーの係数としてである。 有理数係数の場合は特に扱い易いため, 有理ホモトピー論という分野ができた。

空間を局所化して考えるときには, \(\Q \) 係数の(コ)ホモロジーで得られる情報の他に, 各素数 \(p\) に関する情報を考える必要がある。その際, 基本となるのは有限体, 特に標数 \(p\) の素体 \(\F _p\) を係数とした(コ)ホモロジーである。

一般コホモロジーを扱うときには, 次数付きの体, という概念が必要になる。

• 次数付き体 (graded field)

楕円コホモロジーなど, 数論との関係を考えるには, より進んだ体に関する様々な概念を理解する必要がある。

• number field
• function field
• global field
• 体の拡大
• Galois群

Galois 理論と 被覆空間の理論の類似に, 最初に気が付いたのは誰だろうか。その関係を, 最初に正確に述べたのは Grothendieck の Galois category の理論だろう。

• Galois category

Galois 理論への圏論的なアプローチとしては, Janelidze [Jan90; Jan91] や Janelidze と Kelly [JK94; JK97] によるものもある。Janelidze によると Magid の可換環の Galois theory [Mag74] に inspire されたらしい。

• Janelidze’s categorical Galois theory

Galois 理論の一般化を考えるためには, group ring ( Hopf algebra) の言葉で言い換えたのを知っているとよい。 すると, Hopf algebra の拡張に関する言葉で書ける。 そして, structured ring spectrum などへの一般化も考えられるようになる。 それらの元になったのは, 可換環の Galois 理論のようであるが。

• 可換環のGalois理論
• Hopf-Galois extension
• commutative \(S\)-algebra の Galois理論

Rognes の commutative \(S\)-algebra の Galois 理論は, 更に, stable homotopy categoryに一般化しようという試みがある。

例えば K. Hess は, [Hes09] で symmetric monoidal model category に Hopf-Galois extension を拡張しようとしているし, Mathew [Mat16] は symmetric monoidal stable \((\infty ,1)\)-category での étale fundamental group の類似を定義している。 単なる symmetricl monoidal category での ring object の Galois 理論は Pauwels [Pau17] が考えている。そこでは Balmer による tensor triangulated category での separable ring object の定義が用いられている。

また, subfactor の理論にヒントを得て, Kadison らが Galois 理論の各種代数の拡大への一般化を [KN01; Kad08] などで考えている。

References

[Hes09]

Kathryn Hess. “Homotopic Hopf-Galois extensions: foundations and examples”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 79–132. arXiv: 0902.3393. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.79.

[Jan90]

George Janelidze. “Pure Galois theory in categories”. In: J. Algebra 132.2 (1990), pp. 270–286. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(90)90130-G.

[Jan91]

George Janelidze. “Precategories and Galois theory”. In: Category theory (Como, 1990). Vol. 1488. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1991, pp. 157–173. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0084218.

[JK94]

G. Janelidze and G. M. Kelly. “Galois theory and a general notion of central extension”. In: J. Pure Appl. Algebra 97.2 (1994), pp. 135–161. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(94)90057-4.

[JK97]

G. Janelidze and G. M. Kelly. “The reflectiveness of covering morphisms in algebra and geometry”. In: Theory Appl. Categ. 3 (1997), No. 6, 132–159 (electronic).

[Kad08]

Lars Kadison. “Pseudo-Galois extensions and Hopf algebroids”. In: Modules and comodules. Trends Math. Birkhäuser Verlag, Basel, 2008, pp. 247–264. arXiv: math/0508411. url: https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8742-6_16.

[KN01]

Lars Kadison and Dmitri Nikshych. “Hopf algebra actions on strongly separable extensions of depth two”. In: Adv. Math. 163.2 (2001), pp. 258–286. arXiv: math/0107064. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2003.

[Mag74]

Andy R. Magid. The separable Galois theory of commutative rings. Pure and Applied Mathematics, No. 27. New York: Marcel Dekker Inc., 1974, pp. xvii+134.

[Mat16]

Akhil Mathew. “The Galois group of a stable homotopy theory”. In: Adv. Math. 291 (2016), pp. 403–541. arXiv: 1404.2156. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.12.017.

[Pau17]

Bregje Pauwels. “Quasi-Galois theory in symmetric monoidal categories”. In: Algebra Number Theory 11.8 (2017), pp. 1891–1920. arXiv: 1609.00145. url: https://doi.org/10.2140/ant.2017.11.1891.