代数的トポロジーで体が有用なのは, まず(コ)ホモロジーの係数としてである。 有理数係数の場合は特に扱い易いため,
有理ホモトピー論という分野ができた。
空間を局所化して考えるときには, \(\Q \) 係数の(コ)ホモロジーで得られる情報の他に, 各素数 \(p\) に関する情報を考える必要がある。その際,
基本となるのは有限体, 特に標数 \(p\) の素体 \(\F _p\) を係数とした(コ)ホモロジーである。
一般コホモロジーを扱うときには, 次数付きの体, という概念が必要になる。
楕円コホモロジーなど, 数論との関係を考えるには, より進んだ体に関する様々な概念を理解する必要がある。
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number field
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function field
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global field
- 体の拡大
- Galois群
Galois理論と被覆空間の理論の類似に, 最初に気が付いたのは誰だろうか。その関係を, 最初に正確に述べたのは Grothendieck の
Galois category の理論だろう。
Galois理論の一般化を考えるためには, group ring (Hopf algebra) の言葉で言い換えたのを知っているとよい。 すると,
Hopf algebraの拡張に関する言葉で書ける。 そして, structured ring spectrum などへの一般化も考えられるようになる。
それらの元になったのは, 可換環のGalois理論のようであるが。
Rognes の commutative \(S\)-algebra の Galois 理論は, 更に, stable homotopy
categoryに一般化しようという試みがある。
例えば K. Hess は, [Hes09] で symmetric monoidal model categoryに Hopf-Galois
extension を拡張しようとしているし, Mathew [Mat16] は symmetric monoidal stable \((\infty ,1)\)-category での
étale fundamental group の類似を定義している。 単なる symmetricl monoidal category での ring
object の Galois理論は Pauwels [Pau17] が考えている。そこでは Balmer による tensor triangulated
category での separable ring object の定義が用いられている。
また, subfactor の理論にヒントを得て, Kadison らが Galois理論の各種代数の拡大への一般化を [KN01; Kad08]
などで考えている。
References
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[Hes09]
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Kathryn Hess. “Homotopic Hopf-Galois extensions: foundations and
examples”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic
geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom.
Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 79–132. arXiv: 0902.3393. url:
http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.79.
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[Kad08]
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Lars Kadison. “Pseudo-Galois extensions and Hopf algebroids”. In:
Modules and comodules. Trends Math.
Birkhäuser Verlag, Basel, 2008, pp. 247–264. arXiv: math/0508411.
url: https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8742-6_16.
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[KN01]
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Lars Kadison and Dmitri Nikshych. “Hopf algebra actions on strongly
separable extensions of depth two”. In:
Adv. Math. 163.2 (2001), pp. 258–286. arXiv: math/0107064. url:
http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2003.
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[Mat16]
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Akhil Mathew. “The Galois group of a stable homotopy theory”.
In: Adv. Math. 291 (2016), pp. 403–541. arXiv: 1404.2156. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.12.017.
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[Pau17]
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Bregje Pauwels.
“Quasi-Galois theory in symmetric monoidal categories”. In: Algebra
Number Theory 11.8 (2017), pp. 1891–1920. arXiv: 1609.00145. url:
https://doi.org/10.2140/ant.2017.11.1891.
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