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現代の代数的トポロジーで局所化と言った場合, 2つの意味がある。1つは, ある空間の情報を一部分取り出した新しい空間を作る操作, もう1つは
モデル圏のホモトピー圏を作ったり, Abel圏の derived category を作ったりするときのような, Gabirel-Zisman の意味での
圏の局所化である。
後者は, 現在では, モデル圏の局所化として扱うべきだろう。
一般の場合については, Hirschhorn の本 [Hir03] に詳しい。
各空間の局所化についても, 現在は非常に一般化された抽象的な設定で議論できるようになったが, 抽象的な局所化を学ぶ前に, まずは,
CW複体の場合から始めて, 次第に空間の局所化という概念に慣れていくのがよいだろう。 このような古典的な局所化については, Fiedorowicz
が type した Adams の lecture note [AF] をまず読んでみるのがよいと思う。局所化一般についての解説としては, Dwyer
の [Dwy04] がある。May と Ponto の [MP12] もよい。
\(p=0\) での局所化を考えるのが有理ホモトピー論であるが, そのホモトピー型を表す代数的モデルがあることが特徴である。\(p>0\) の場合は,
それ程簡単な代数的モデルはないが, Mandell [Man01] により, \(\overline {\F }_{p}\) 上の \(E_{\infty }\)-algebra 用いて \(p\)-complete homotopy type
が表せることが示されている。
もちろん, 元になっている代数学での, 完備化や局所化についても知っておくとよい。 古典的な空間の局所化は, 素数 \(p\) (あるいは素数の集合)
に関し局所化するものであるから, それ程代数的な知識は必要ない。しかし, 最近の安定ホモトピー論での進歩により, 代数的な操作が spectrum
の圏でできるようになったことで, より一般的な局所化や完備化が spectrum の圏でも使われるようになっている。例えば, Greenlees と
May の [GM92] など, である。 Greenlees と May の解説 [GM95]を見るとよい。
局所化のような, 大きな圏に対する操作を行なうときには, 集合論的な困難が共なう。そのような問題を考えるときには, Vopenka’s
principle などの large cardinality axiom が有効のようである。
Bagaria, Casacuberta, Mathias, Rosicky の [Bag+15] では, Vopenka’s principle
の代数的トポロジー, 特に局所化への応用として [CC06; CSS05; Cho07; RT03] が挙げられている。
その他の局所化の手法としては, 代数幾何学的な観点からの, schematization という構成がある。Toën により [Toë06]
で導入された。
位相空間 \(X\) と体 \(k\) の組 \((X,k)\) に対し, \(k\) 上の affine scheme の site 上の simplicial presheaf \((X\otimes k)^{\textrm {sch}}\) を対応させるものである。 \(X\)
のホモトピー型の “\(k\)-linear part” を取り出すものであり, \(k=\Q \) のときには, rational homotopy type を表わす。 よって,
局所化のモデルとして用いることができる。Katzarkov と Pantev と Toën の [KPT08] や [KPT09]
で調べられている。
同様の情報を取り出すものとして, pro-algebraic homotopy type という手法 [Pri08] もある。これは nilpotent
ではない空間への rational homotopy theory の拡張になっているようである。
\(\mathbb {A}^{1}\)-homotopy theory での素数に関する局所化の試みとして, Asok, Fasel, Hopkins による [AFH22]
がある。
Shin [Shi] によると, Bhatt と Scholze の prismatic cohomology [BS] は, Mandell の \(p\)-adic
homotopy theory と関係あるようである。
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