Bousfield-Kanの局所化と完備化

Simplicial および cosimplicial object の技術を駆使した Bousfield と Kan の局所化と完備化 [BK72] は, その functorial な構成から様々な応用があり, ホモトピー論では非常に重要な技術である。

Bousfield と Kan は, simplicial set の圏で, 環 \(R\) に関する completion functor を構成したが, より一般の monad (triple) に対して, 類似の構成を考えることができる。Libman の [Lib03] や Radulescu-Basu の [Rad] など。後者は, モデル圏で考えている。

Bousfield-Kan の構成も含め, このように構成された“completion functor” が “up to homotopy” で monad になることは, 多くの人が思っていたことのようである。実際, Lipman [Lib03] は, homotopy category まで落せば monad になることを示している。より正確には, Bauer と Libman の結果 [BL10] がある。つまり “up to homotopy” の部分は, 正確には operad を用いて記述すべきだというのである。

References

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. v+348.

[BL10]

Tilman Bauer and Assaf Libman. “\(A_{\infty }\)-monads and completion”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 5.1 (2010), pp. 133–155. arXiv: 0805.3030.

[Lib03]

Assaf Libman. “Homotopy limits of triples”. In: Topology Appl. 130.2 (2003), pp. 133–157. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(02)00217-1.

[Rad]

Andrei Radulescu-Banu. Cofibrance and Completion. arXiv: math/0612203.