単体的および余単体的手法

単体的手法とは, 単体的集合 (simiplicial set) をはじめとする様々な圏の単体的対象を用いて, 幾何学的あるいは代数的対象を調べる方法である。 古典的な教科書は, Peter May の本 [May92] だろう。 私は, Curtis の [Cur71] の方が好きであるが。 Bousfield と Kan の本 [BK72] も simplicial set の使い方を学ぶ上では, 実践的な教科書と言えるだろう。 より新しいものとしては, Goerss と Jardine の [GJ09] があるが, 記号や用語に癖があるので, 気をつけた方がよい。

いきなり simplicial set の定義から入っても大丈夫な人もいるが, 普通は, 単体的複体の抽象化として simplcial set を理解した方がよいだろう。 そのためのテキストとしては, [DH01] にある Dwyer の解説がよい, と思う。 Friedman の [Fri12] を最初に読んでみてもよいだろう。

• 単体的複体
• (余)単体的対象についての基本
• 単体的対象
• 余単体的対象

単体的対象の例としては, もちろん simplicial set をまず理解すべきである。 ホモロジー代数の視点からは, simplicial Abelian group や simplicial module が基本的である。 空間の構成を行うときには, simplicial space や cosimplicial space が有用である。

• simplicial set
• simplicial group
• simplicial Abelian group や simplicial module
• simplicial space
• cosimplicial space

応用としては, 例えば次のようなものがある。

• small category と topological category の分類空間
• ホモトピー論的な極限
• \((\infty ,n)\)-category などの高次の圏の理論
• étale homotopy theory
• simplicial space のホモロジースペクトル系列としての各種スペクトル系列の構成
• cosimplicial space のホモトピースペクトル系列としての各種スペクトル系列の構成

一般化や変種については, 次にまとめた。

• (余)単体的対象の一般化 や変種

References

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Vol. 304. Lecture Notes in Mathematics. 2nd corrected printing 1987. Berlin: Springer-Verlag, 1972, p. v 348.

[Cur71]

Edward B. Curtis. “Simplicial homotopy theory”. In: Advances in Math. 6 (1971), pp. 107–209. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(71)90015-6.

[DH01]

William G. Dwyer and Hans-Werner Henn. Homotopy theoretic methods in group cohomology. Advanced Courses in Mathematics—CRM Barcelona. Basel: Birkhäuser Verlag, 2001, p. x 98. isbn: 3-7643-6605-2.

[Fri12]

Greg Friedman. “Survey article: an elementary illustrated introduction to simplicial sets”. In: Rocky Mountain J. Math. 42.2 (2012), pp. 353–423. arXiv: 0809.4221. url: http://dx.doi.org/10.1216/RMJ-2012-42-2-353.

[GJ09]

Paul G. Goerss and John F. Jardine. Simplicial homotopy theory. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1999 edition [MR1711612]. Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, pp. xvi+510. isbn: 978-3-0346-0188-7. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4.

[May92]

J. Peter May. Simplicial objects in algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Reprint of the 1967 original. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1992, pp. viii+161. isbn: 0-226-51181-2.