Cosimplicial Spaces

Simplicial object の中で最も重要なのは, simplicial set である。しかしながら, Cosimplicial object の中で最も良く使われるのは, cosimplicial set ではなく cosimplicial space である。もっとも, Kan school の人達は simplicial set を space と呼ぶので, 彼等の言う cosimplicial space は cosimplicial simplicial set のことであるが。

文献としては, どれが良いのだろうか。「空間 \(=\) simplicial set」 という立場で書かれたものなら, Bousfield と Kan の [BK72] や Goerss と Jardine の [GJ09] がある。位相空間で考えたものは, Dugger の homotopy colimit の解説 [Dug08], Eldred の [Eld08], そして McClure と Smith の [MS04] ぐらいだろうか。

• cosimplicial space \(X^{\bullet }\) の totalization \(\mathrm {Tot}\) および \(\mathrm {Tot}_n\) の定義
• cosimplicial space が fibrant であることの定義

• fibrant な cosimplicial space \(X^{\bullet }\) に対し, fibration の tower

  \[ \xymatrix { \mathrm {Tot}(X^{\bullet }) \ar [d] \\ \vdots \ar [d] \\ \mathrm {Tot}_n(X^{\bullet }) \ar [d] \\ \mathrm {Tot}_{n-1}(X^{\bullet }) \ar [d] \\ \vdots \ar [d] \\ \mathrm {Tot}_0(X^{\bullet }) } \]
  がある。

様々な構成が, cosimplicial space の \(\mathrm {Tot}\) として実現できる。 まず知っておくべきなのは, loop空間をはじめとする 写像空間である。

• 基点付き空間\(X\)に対し, 幾何学的 cobar construction \(\Omega ^{\bullet }(X)\) の定義。また同相

  \[ \mathrm {Tot}(\Omega ^{\bullet }(X)) \cong \Omega X \]
  があること。
• Anderson [And72] による 写像空間 の cosimplicial model

これらは, simplicial set \(A=\{A_n\}_n\) と位相空間 \(X\) に対し \(\{\mathrm {Map}(A_n,X)\}_n\) が自然な cosimplicial space の構造を持つことを考えれば よく分かる。Lupercio と Uribe と Xicotencatl の [LUX08] の§6には path-space の cosimplicial description について書いてある。

もちろん, homotopy limit は, cosimplicial space による最も重要な構成の一つである。

McClure と Smith [MS02] は, Hochschild cochain に対する Deligne予想の証明の中で, cosimplicial space の組に対し, cup pairing という構造を考えた。 Cup pairing から \(\mathrm {Tot}\) の間の写像が誘導されるので, cosimplicial map から誘導されたものではない \(\mathrm {Tot}\) の間の写像を作ることができる。

• cosimplicial space の cup pairng
• cup pairng から誘導された \(\mathrm {Tot}\) の間の写像

更に, operad with multiplication を導入し, それに associate して自分自身との cup pairing を持つ cosimplicial space ができることを示している。

• operad with multiplication に associate した cosimplicial space

References

[And72]

D. W. Anderson. “A generalization of the Eilenberg-Moore spectral sequence”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), pp. 784–786. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1972-13034-9.

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Vol. 304. Lecture Notes in Mathematics. 2nd corrected printing 1987. Berlin: Springer-Verlag, 1972, p. v 348.

[Dug08]

Danial Dugger. A primer on homotopy colimits. 2008. url: https://pages.uoregon.edu/ddugger/hocolim.pdf.

[Eld08]

Rosona Eldred. Tot Primer. 2008. url: https://ncatlab.org/nlab/files/Eldred-Totalization.pdf.

[GJ09]

Paul G. Goerss and John F. Jardine. Simplicial homotopy theory. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1999 edition [MR1711612]. Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, pp. xvi+510. isbn: 978-3-0346-0188-7. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4.

[LUX08]

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe, and Miguel A. Xicotencatl. “Orbifold string topology”. In: Geom. Topol. 12.4 (2008), pp. 2203–2247. arXiv: math/0512658. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.2203.

[MS02]

James E. McClure and Jeffrey H. Smith. “A solution of Deligne’s Hochschild cohomology conjecture”. In: Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000). Vol. 293. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 153–193. arXiv: math/9910126. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/293/04948.

[MS04]

James E. McClure and Jeffrey H. Smith. “Cosimplicial objects and little \(n\)-cubes. I”. In: Amer. J. Math. 126.5 (2004), pp. 1109–1153. arXiv: math/0211368. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v126/126.5mcclure.pdf.