ファイブレーション

ファイバー束の持つ重要な性質の多くは, 一つの性質, 被覆ホモトピー性質, から証明されてしまう。この性質を取り出すことにより, ファイバー束の一般化を考えるのは自然である。 そのような試みとして, Hurewicz fibration [Hur55] とSerre fibration [Ser51] をまず知っておくべきだろう。

• ファイバー束
• fibration に関する基本的な概念

ファイバー束のような分類の理論を構築しようとすると, principal bundle の類似を考えたくなる。

• principal fibration

ホモトピー群を考えるときには, quasifibration の概念が便利である。また, 具体的な構成を行なうと, fibration にはならずに quasifibration にしかならないことも多い。例えば, small categoryの分類空間 (Quillen の Theorem B) や多重ループ空間の理論などで登場する。

• quasifibration

Gromov [Gro86] により導入された microfibration という概念もある。

• microfibration

Weiss の [Wei05] や, Galatius と Randal-Willams の仕事 [GR18] などで登場する。 Gromov の h-principle を調べた Kupers の [Kup19] でも, 当然, 使われている。

抽象単体的複体に対しては, Fernández-Ternero と García-Calcines と Macías-Virgós と Vilches [Fer+21] の導入したものがある。

位相空間やそれに類似の空間の圏以外で fibration を考えるときには, やはりモデル圏やその一般化を用いるのがよいだろう。

• モデル圏の視点から見た fibration

その他 fibration に関連した話題については, 以下にまとめた。

• fibration に関連した話題

References

[Fer+21]

Desamparados Fernández-Ternero, José Manuel García-Calcines, Enrique Macías-Virgós, and José Antonio Vilches. “Simplicial fibrations”. In: Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat. RACSAM 115.2 (2021), Paper No. 54, 25. arXiv: 1902.10114. url: https://doi.org/10.1007/s13398-020-00966-5.

[GR18]

Søren Galatius and Oscar Randal-Williams. “Homological stability for moduli spaces of high dimensional manifolds. I”. In: J. Amer. Math. Soc. 31.1 (2018), pp. 215–264. arXiv: 1403 . 2334. url: https://doi.org/10.1090/jams/884.

[Gro86]

Mikhael Gromov. Partial differential relations. Vol. 9. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. x+363. isbn: 3-540-12177-3. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02267-2.

[Hur55]

Witold Hurewicz. “On the concept of fiber space”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 41 (1955), pp. 956–961. url: https://doi.org/10.1073/pnas.41.11.956.

[Kup19]

Alexander Kupers. “Three applications of delooping to \(h\)-principles”. In: Geom. Dedicata 202 (2019), pp. 103–151. arXiv: 1701.06788. url: https://doi.org/10.1007/s10711-018-0405-7.

[Ser51]

Jean-Pierre Serre. “Homologie singulière des espaces fibrés. Applications”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 425–505. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969485.

[Wei05]

Michael Weiss. “What does the classifying space of a category classify?” In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 185–195. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839512.