Nonassociative Algebra

結合法則をみたさない代数的構造も, 様々な場面で登場する。 最も良く使われるのは Lie algebra だろう。

• Lie algebra

Schafer の survey [Sch55] によると, nonassociative algebra の中で well-behaved なのは Jordan algebra と alternative algebra である。 文献としては, この Schafer のもの以外に, Schafer の本 [Sch95] や van der Linden の lecture notes [Van21] などがある。

Jordan algebra は, 例外型Lie群の構成などで使われる。

• Jordan algebra

八元数やその一般化である Cayley-Dickson algebra も関係が深い。

• 八元数
• Cayley-Dickson algebra

八元数は, 部分的に associative になっていて, alternative algebra という class に属している。

• alternative algebra

Alternative algebra については, McCrimmon の unfinished book [McC] がある。

八元数を含む class として, Kleinfeld [Kle62] associator dependent algebra (ring) という種類のものを導入しているが, Bremner と Dotsenko [BD23] がその operad について調べている。

• associator dependent algebra

Voronin の [Vor12] に, Jordan algebra の様々な変種について書かれている。それによると, Kolesnikov [Kol08] により導入された Jordan dialgebra と Velasquez と Felipe [VF08] の quasi-Jordan algebra が同じものであることが, Bremner [Bre10] によって証明されたらしい。

Bremner らは, Jordan trialgebra と post-Jordan algebra を [BBM17] で導入している。

Alternative algebra の作用を考えるために, Casas と Datuashvili と Ladra [CDL] は Orzech が [Orz72] で導入した “category of interest” というものを考えている。 これは, alternative algebra 以前に, 様々な代数的構造を扱うために考えられたものであるが。 Orzech の論文では, 8つの条件で定義してあり, Jordan algebra の category は 7つ目までは満すが8つ目を満さないことが示されている。 Category of interest の object に対しては, actor という概念が定義される。

• category of interest
• actor

他には, Davydov と Runkel の [DR15] で登場する b-algebra というものがある。

• b-algebra

彼等は, b-algebraの many-objectification を考えることにより, braided monoidal category の一般化である b-category の概念を得ている。

加法に関する結合性を弱めたものとして, neardomain という構造がある。 Cara と Kieboom と Vervloet の [CKV12] でその category が調べられている。

• neardomain
• nearfield

Nonassociative algebra を使った, nonassociative (differential) geometry を調べている人もいる。Szabo らの [BSS15; BSS16; BSS; ADS18; Dim+20] など。

References

[ADS18]

Paolo Aschieri, Marija Dimitrijević Ćirić, and Richard J. Szabo. “Nonassociative differential geometry and gravity with non-geometric fluxes”. In: J. High Energy Phys. 2 (2018), 036, front matter+52. arXiv: 1710.11467. url: https://doi.org/10.1007/jhep02(2018)036.

[BBM17]

Fatemeh Bagherzadeh, Murray Bremner, and Sara Madariaga. “Jordan trialgebras and post-Jordan algebras”. In: J. Algebra 486 (2017), pp. 360–395. arXiv: 1611.01214. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.04.022.

[BD23]

Murray Bremner and Vladimir Dotsenko. “Associator dependent algebras and Koszul duality”. In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 202.3 (2023), pp. 1233–1254. arXiv: 2203 . 11142. url: https://doi.org/10.1007/s10231-022-01278-8.

[Bre10]

Murray R. Bremner. “On the definition of quasi-Jordan algebra”. In: Comm. Algebra 38.12 (2010), pp. 4695–4704. arXiv: 1008.2009. url: https://doi.org/10.1080/00927870903468375.

[BSS]

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel, and Richard J. Szabo. Working with Nonassociative Geometry and Field Theory. arXiv: 1601.07353.

[BSS15]

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel, and Richard J. Szabo. “Nonassociative geometry in quasi-Hopf representation categories I: Bimodules and their internal homomorphisms”. In: J. Geom. Phys. 89 (2015), pp. 111–152. arXiv: 1409.6331. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2014.12.005.

[BSS16]

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel, and Richard J. Szabo. “Nonassociative geometry in quasi-Hopf representation categories II: Connections and curvature”. In: J. Geom. Phys. 106 (2016), pp. 234–255. arXiv: 1507.02792. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2016.04.005.

[CDL]

José Manuel Casas, Tamar Datuashvili, and Manuel Ladra. Actor of an alternative algebra. arXiv: 0910.0550.

[CKV12]

Philippe Cara, Rudger Kieboom, and Tina Vervloet. “A categorical approach to loops, neardomains and nearfields”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 19.5 (2012), pp. 847–859. arXiv: 1207. 3600. url: https://doi.org/10.36045/bbms/1354031553.

[Dim+20]

Marija Dimitrijević Ćirić, Grigorios Giotopoulos, Voja Radovanović, and Richard J. Szabo. “\(L_\infty \)-algebras of Einstein-Cartan-Palatini gravity”. In: J. Math. Phys. 61.11 (2020), pp. 112502, 65. arXiv: 2003.06173. url: https://doi.org/10.1063/5.0011344.

[DR15]

Alexei Davydov and Ingo Runkel. “An alternative description of braided monoidal categories”. In: Appl. Categ. Structures 23.3 (2015), pp. 279–309. arXiv: 1307.5969. url: https://doi.org/10.1007/s10485-013-9338-3.

[Kle62]

Erwin Kleinfeld. “Associator dependent rings”. In: Arch. Math. 13 (1962), pp. 203–212. url: https://doi.org/10.1007/BF01650067.

[Kol08]

P. S. Kolesnikov. “Varieties of dialgebras, and conformal algebras”. In: Sibirsk. Mat. Zh. 49.2 (2008), pp. 322–339. arXiv: math / 0611501. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11202-008-0026-8.

[McC]

Kevin McCrimmon. Alternative Algebras. url: http://mysite.science.uottawa.ca/neher/Papers/alternative/.

[Orz72]

G. Orzech. “Obstruction theory in algebraic categories. I, II”. In: J. Pure Appl. Algebra 2 (1972), 287–314, ibid. 2 (1972), 315–340.

[Sch55]

R. D. Schafer. “Structure and representation of nonassociative algebras”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 61 (1955), pp. 469–484.

[Sch95]

Richard D. Schafer. An introduction to nonassociative algebras. Corrected reprint of the 1966 original. New York: Dover Publications Inc., 1995, pp. x+166. isbn: 0-486-68813-5.

[Van21]

Tim Van der Linden. “Non-associative algebras”. In: New perspectives in algebra, topology and categories. Vol. 1. Coimbra Math. Texts. Springer, Cham, [2021] ©2021, pp. 225–258. arXiv: 2004.06392. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-84319-9_7.

[VF08]

Raúl Velásquez and Raúl Felipe. “Quasi-Jordan algebras”. In: Comm. Algebra 36.4 (2008), pp. 1580–1602. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870701865996.

[Vor12]

Vasily Voronin. “Special and exceptional Jordan dialgebras”. In: J. Algebra Appl. 11.2 (2012), pp. 1250029, 23. arXiv: 1011.3683. url: https://doi.org/10.1142/S0219498811005531.